Banachovy limity

Lineární funkcionál se nazývá Banachova limita , pokud jsou splněny následující 3 podmínky: 1) [Poznámka 1] $\mathrm\Beta\in l_{\infty}^{*}$
$B(\mathbf{1})=1$

2) pro jakékoli $B\ge 0$ $x\geq 0$

3) pro libovolné , kde operátor směny jedná takto: $B(Tx)=B(x)$ $x\in l_{\infty}$ $T$ $T(x_1,x_2,x_3,...)=(x_2,x_3,...)$

Existenci takových limitů dokázal Stefan Banach [1] . Z definice vyplývá, že a pokud posloupnost konverguje . Sada Banachových limitů je označena jako . je konvexní uzavřená množina na jednotkové sféře prostoru . Z trojúhelníkové nerovnosti vyplývá, že pro všechny je nerovnost pravdivá . Jestliže a jsou krajní body množiny , pak [2] . $\|B\|_{l_{\infty}^{*}}=1$ $B(x_1,x_2,...)=\lim_{n \to \infty}x_n$ $x_1, x_2,...$ ${\mathfrak {B}}$ ${\mathfrak {B}}$ $l_{\infty}^{*}$ $B_1,B_2\in\mathfrak{B}$ $\|B_1-B_2\|\le2$ $B_1$ $B_{2}$ ${\mathfrak {B}}$ $\|B_{1}-B_{2}\|=2$

Lemma 1

Různé Banachovy limity jsou nesrovnatelné, tedy když , tak [3] . $B_1(x)\le B_2(x) \quad \forall x\in l_{\infty} \quad x\ge 0$ $B_1(x)=B_2(x)$

Důkaz

Pokud pro některé . Vezměme si $B_1(u)\le B_2(u)$ $u\in l_{\infty} \quad u\ge 0 \quad\Rightarrow\quad \forall \lambda > 0 \quad u\ne 0 \quad B_1(\lambda u) < B_2(\lambda u)$ $0 < \lambda < \frac{1}{\|u\|} \quad\Rightarrow\quad 0 \le \lambda u \le \mathbf{1} \quad\Rightarrow\quad \mathbf{1}-\lambda u\ge 0$ $B_1(\mathbf{1}-\lambda u)=1-B_1(\lambda u)>1-B_2(\lambda u)=B_2(\mathbf{1}-\lambda u)$

Dostaneme rozpor, který dokazuje lemma [3] .

Věta 1

Funkcionál může být reprezentován ve tvaru ( ) tehdy a jen tehdy , když $f\in l_{\infty}^{*}$ $f=B_1-B_2$ $B_1,B_2\in\mathfrak{B}$

$f(Tx)=f(x)$ pro všechny $x\in l_{\infty}$
$f(\mathbf{1})=1$
$\|f\|_{l_{\infty}^{*}}\le 2$

Aby toto zobrazení bylo za naznačených podmínek jedinečné, je nutné a postačující, aby [3] . $\|f\|_{l_{\infty}^{*}}=2$

Důkaz

Nutnost podmínek 1.-3. vyplývá z definice Banachových limitů. Abychom prokázali dostatečnost, definujeme funkcionál

g=\max(f,0)=\sup_{0\le u\le x}f(u)\quad g\in l_{\infty}^{*}\quad g\ge 0 \quad\forall x \le0

Použití vlastností 1.-3. dostaneme:

g(\mathbf{1})=\sup_{0\le u\le \mathbf{1}}f(u)=\sup_{0\le u+\frac{1}{2}\mathbf{1}\ le \mathbf{1}}f(u+\frac{1}{2}\mathbf{1})=\sup_{-\frac{1}{2}\mathbf{1}\le u\le\frac{ 1}{2}\mathbf{1}} (f(u)+\frac{1}{2}f(\mathbf{1}))=\sup_{\left | u \right |\le\frac{1}{2}\mathbf{1}} f(u)=\frac{1}{2}\|f\|_{l_{\infty}^{*}} \le 1

Neboť to je pravda

B\in\mathfrak{B}

B_1=g+(1-\frac{\|f\|}{2})B\ge 0 \qquad B_1(Tx)=B_1(x) \qquad B_1(\mathbf{1})=1

proto Banachův limit. Totéž platí pro funkční . Podle konstrukce . Dokažme jedinečnost takové reprezentace pro . Nechte na . $B_1$ $B_2=B_1-f=g-f+(1-\frac{\|f\|}{2})B$ $B_1-B_2=f$ $\|f\|=0$ $f=B_1-B_2$ $\|f\|=0$

B_1=f+B_2 \quad B_2=f-B_1

B_1\ge 0 \quad B_1\ge 0 \Rightarrow B_1\ge f \quad B_2\ge f

B_1\ge \max(f,0) \quad B_2\ge \max(-f,0)

To bylo dokázáno výše , podobná úvaha ukazuje, že . Lemma 1 dostáváme $max(f,0)\in\mathfrak{B}$ $max(-f,0)\in\mathfrak{B}$

B_1=\max(f,0) \quad B_2=\max(-f,0)

Věta je dokázána [3] .

Koncept téměř konvergence

Pro dané , , pro jakékoli $a\in\R^1$ $x\in l_{\infty}$ $\mathrm\Beta\in \mathfrak{B}$

B(x)=a\quad\Leftrightarrow\quad\lim_{n \to \infty}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k=a

jednotně podle [4] . Poslední rovnost se nazývá Lorentzovo kritérium . Dá se upřesnit následovně [5] : $m\in\N$

\lim_{n \to \infty}\inf_{m\in\N}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k\le B(x)\le \lim_{n \to \infty}\sup_{m\in\N}\frac{1}{n}\sum_{k=m+1}^{m+n} x_k

Sekvence se nazývá téměř konvergentní k číslu , pokud jsou hodnoty všech Banachových limitů v této sekvenci stejné . Používá se následující zápis: . Množina téměř konvergentních posloupností je označena . je lineární neoddělitelný prostor , uzavřený a nikde hustý v . Množina sekvencí téměř konvergujících k číslu se označuje jako . Je jasné, že pro jakékoli [3] . $x\in l_{\infty}$ $a\in\R^1$ $A$ $Lim\,x_k=a$ $ac$ $ac$ $l_{\infty}$ $s$ $ac_s$ $ac_s\subset ac$ $s$

Příklad

Posloupnost nemá obvyklou mez , ale . Pro kontrolu rovnosti můžete použít Lorentzovo kritérium nebo vlastnost této sekvence: . $x=(1,0,1,0,...)$ $Lim\,x=\frac{1}{2}$ $x_k=1-x_{k+1}$

Lim\,x_k=Lim\,(\mathbf{1}-x_{k+1})=1-Lim\,x_{k+1}=1-Lim\,x_k

Bude také možné použít následující lemma:

Lemma 2

Jakákoli periodická posloupnost téměř konverguje k číslu rovnému aritmetickému průměru hodnot za období [3] .

Charakteristické funkce

Systém Rademacher je posloupnost funkcí

r_n(t)=\sgn\sin(2^n\pi t) \quad n\in\N \quad t\in[0,1]

Každému lze přiřadit funkci $B\in\mathfrak{B}$

f_B(t)=B(r_n(t))

která se nazývá charakteristická funkce Banachovy limity . je funkce s komplexní hodnotou [6] . $B$ $f_B$

Věta 2

Když a pro všechny , tak pro všechny [6] . $A,B\in\mathfrak{B}$ $f_A(t)\le f_B(t)$ $t\in(0,1)$ $A=B$ $x\in l_{\infty}$

Vlastnosti charakteristických funkcí

Nechte tedy $A,B\in\mathfrak{B}$

$f_B(t)$ je periodické a perioda je libovolné binární racionální číslo od $(0,1)$
$f_B(t)=f_B(\frac{t}{2})$ pro jakékoli $t\in(0,1)$
$\forall \lambda \in [0,1] \, \exists \, x \in 2^\N \cap ac$ , který pro jakékoli a $B(x) = \lambda$ $B \in \mathfrak{B}$ $Im \, f_B = [-1,1]$
graf je hustý v obdélníku $f_B$ $[0,1] \krát [-1,1]$
$f_B(t)+f_B(1-t)=0$ pro všechny $t\in(0,1)$

[6]

Zdroje

↑ Stefan Banach, 1932 .
↑ E.Semenov a F.Sukochev .
↑ 1 2 3 4 5 6 Usachev A.A., 2009 .
↑ Lorentz GG, 1948 .
↑ Sucheston L., 1967 .
↑ 1 2 3 E.M. Semenov, F.A. Sukochev, 2010 .

Poznámky

↑ Zde a níže máme na mysli sekvenci $\mathbf{1}$ $(1,1,1,...)$

Literatura

Stefan Banach . Teorie Operace Lineaires. - Varšava , 1932.
JÍST. Semenov, F.A. Sukochev. Charakteristické funkce Banachových limitů // Siberian Mathematical Journal. - 2010. - T. 51 , č. 4 . (Ruština)
E. Semenov a F. Sukochev. Extrémní body množiny banachových limitů .
Lorentz GG Příspěvek k teorii divergentních posloupností. - Acta Math, 1948. - S. 167-190. (Angličtina)
Usachev A.A. Prostor téměř konvergentních sekvencí a Banachovy limity / E.M. Semjonov. - Voroněž: VGU , 2009. - 93 s.
Sucheston L. Banach limity (anglicky) // Amer. Matematika. Měsíční. - 1967. - Sv. 74, č.p. 3 . - S. 308-311. (Angličtina)