Nekonečná práce

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 9. února 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

V matematice , pro posloupnost čísel, nekonečný součin [1] $a_{1},a_{2},a_{3},\tečky$

\prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=a_{1}a_{2}a_{3}\dots

je definována jako limit dílčích součinů při . Součin se nazývá konvergentní , když limita existuje a je nenulová. Jinak se součin nazývá divergentní . Případ, kdy je limit nulový, je zvažován samostatně, aby se získaly výsledky podobné těm pro nekonečné součty . ${\displaystyle a_{1}a_{2}\tečky a_{n))$ $n\to\infty$

Pokud jsou všechna čísla kladná, lze použít logaritmickou operaci. Pak se studium konvergence nekonečného součinu redukuje na studium konvergence číselné řady . $a_{1},a_{2},a_{3},\tečky$

Konvergence

Pokud součin konverguje, pak musí být splněna limitní rovnost . Proto je logaritmus definován pro všechny kromě konečného počtu hodnot, jejichž přítomnost nemá vliv na konvergenci. Vyloučením tohoto konečného počtu členů z posloupnosti získáme rovnost: $\lim _{n\to \infty }a_{n}=1$ $\ln a_{n}$ $n$ $\{a_{n}\}$

\ln \prod _{n=1}^{\infty }a_{n}=\sum _{n=1}^{\infty }\ln a_{n},

ve kterém konvergence nekonečného součtu na pravé straně je ekvivalentní konvergenci nekonečného součinu na levé straně. To nám umožňuje přeformulovat kritérium pro konvergenci nekonečných součtů na kritérium pro konvergenci nekonečných součinů. U produktů, které pro any , označujeme , then a , odkud následuje nerovnost: $n$ $a_{n}\geqslant 1$ $p_{n}=a_{n}-1$ $a_{n}=p_{n}+1$ $p_{n}\geqslant 0$

1+\sum _{n=1}^{N}p_{n}\leqslant \prod _{n=1}^{N}\left(1+p_{n}\right)\leqslant \ exp \left(\sum _{n=1}^{N}p_{n}\right)

který ukazuje, že nekonečný součin konverguje právě tehdy, když konverguje nekonečný součet . ${\displaystyle \prod _{n=1}^{\infty }a_{n))$ ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }p_{n))$

Příklady

Pozoruhodné příklady nekonečných produktů, vzorce pro číslo $\pi$ , objevené Françoisem Vietem a Johnem Wallisem :

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{ 2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdots

;

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\ cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot { \frac {8}{9}}\cdots =\prod _{n=1}^{\infty }\left({\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}\right )

Eulerova identita pro funkci zeta

\zeta (x)={\frac {1}{1-2^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-x}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-x}}}\cdots =\prod _{p}{\frac {1}{1 -p^{-x}}}

kde součin přebírá všechna prvočísla . Tento produkt konverguje pro . $\displaystyle p$ $x>1$

Reprezentace funkce jako nekonečného součinu

V komplexní analýze je známo, že sinus a kosinus lze rozložit na nekonečný součin polynomů

\sin \pi z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right )

\cos \pi z=\prod _{n=0}^{\infty }\left(1-{\frac {4z^{2}}{(2n+1)^{2}}}\ že jo)

Tyto expanze jsou důsledkem obecné věty, že jakoukoli celou funkci s nejvýše spočetným počtem nul , kde bod 0 je nula řádu , lze reprezentovat jako nekonečný součin tvaru. $F$ $\{0\}\pohár \{a_{n}\}\to \infty$ $\lambda$

$f(z)=z^{\lambda }e^{{h(z)}}\prod _{1}^{\infty }\left(1-{\frac {z}{a_{n}}} \right)\exp \left({\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {1}{2}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right )^{2}+\tečky +{\frac {1}{p_{n}}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{{p_{n}}} \že jo)$ ,

kde je nějaká celá funkce a nezáporná celá čísla jsou vybrána tak, že řada konverguje. V , exponenciální číslo odpovídající multiplikátoru je vynecháno (je považováno za rovné ). $h$ $p_n$ $\sum _{1}^{\infty }\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{{p_{n}+1}}$ $p_{n}=0$ $n$ $\exp(0)=1$

Poznámky

↑ Fikhtengolts G. M. Kurz diferenciálního a integrálního počtu. - M. : Nauka, 1970. - T. 2. - S. 350-364.

Odkazy

Nekonečné produkty od Wolfram Math World