Bifurkační paměť

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 31. května 2018; kontroly vyžadují 9 úprav .

Bifurkační paměť  je zobecněný název pro specifické rysy chování dynamického systému blízko bifurkace . Tento jev je znám také pod názvy „ zpoždění ztráty stability pro dynamické bifurkace “ [a 1] [a 2] ), „narušená bifurkace“ („ nedokonalá bifurkace “) [a 3] , „ kachní řešení “ [a 4] [ a 5] [a 6] [b 1] [b 2] a " atraktor duchů " (" atraktor duchů " [a 7] [poznámka 1] ).

Obecné poznámky

Podstatou efektu bifurkační paměti (BP) je vznik zvláštního typu přechodného procesu . Obvyklý přechodový proces je charakterizován asymptotickou aproximací dynamického systému ze stavu určeného jeho počátečními podmínkami do stavu odpovídajícímu jeho stabilnímu stacionárnímu režimu, v jehož oblasti přitažlivosti se systém nachází. V blízkosti hranice bifurkace však lze pozorovat dva typy přechodných procesů: při průchodu místem zmizelého stacionárního režimu dynamický systém na chvíli zpomalí svůj asymptotický pohyb, „ jako by si vzpomněl na ztracenou dráhu “ [a 8] , a počet otáček fázové trajektorie v této oblasti bifurkační paměti závisí na blízkosti odpovídajícího parametru systému k jeho bifurkační hodnotě a teprve poté se fázové trajektorie přikloní ke stavu odpovídajícímu stabilnímu stacionárnímu režimu systému. .

Bifurkační situace generují bifurkační stopy ve stavovém prostoru, které izolují oblasti neobvyklých přechodných procesů (fázové skvrny).

Původní text  (anglicky)[ zobrazitskrýt] Bifurkační situace generují ve stavovém prostoru bifurkační stopy, které izolují oblasti neobvyklých přechodových procesů (fázové skvrny).

Feigin, 2004 [a 9]

Jevy bifurkační paměti, které jsou pozorovány v singulárně narušených rovnicích, lze považovat za charakteristické pro ty případy, kdy na určitém úseku fázové trajektorie jsou dostatečné podmínky pro stabilitu blízkosti řešení formulovaných ve větě A. N. Tichonov na přechodu do limitu [a 10] [a 11] jsou narušeny narušené a nerušené systémy, ale přechod na limit je proveden.

V literatuře [a 8] [a 12] je efekt BP spojován s nebezpečnými fúzními bifurkacemi .

Popsali jsme také dvojí efekty bifurkační paměti, které se nám podařilo pozorovat při uvažování chování dynamických systémů, jejichž hodnoty parametrů byly voleny v blízkosti buď průsečíku hranic bifurkace, nebo jejich blízkého umístění. [a 13]

E. F. Mishchenko a kol. poukázali na přímou souvislost mezi „kachními řešeními“ a „zpožděním vzpěru“ . [1] , A. I. Neishtadt [2] , E. A. Schepakina a kol. [a 14] . M. I. Feigin zastával názor [a 9] [a 13] o podobnosti mezi jím popsanou variantou „bifurkační paměti“ a „vzpěrným zpožděním“ , kterou studoval A. I. Neishtadt .

Pozoruhodné definice

Termín " bifurkační paměť " je prohlašován za :

... byl zaveden v [a 15] k popisu skutečnosti, že v parametrickém prostoru si při překročení hranice oblasti existence určitého typu řešení soustavy diferenciálních rovnic zachovávají řešení soustavy podobnost s již neexistující typ řešení, dokud se hodnota proměnného parametru mírně neliší od hraniční hodnoty
V matematických modelech popisujících procesy v čase je tato skutečnost známá jako důsledek věty o spojité závislosti řešení diferenciálních rovnic [cca. 2] (v konečném časovém intervalu) na parametrech v nich obsažených a z tohoto pohledu není zásadně nový.Ataullakhanov a kol., 2007 [a 12]

Později, aby bylo možné shrnout nashromážděné výzkumné zkušenosti, byla navržena následující definice:

Dynamika s jevy bifurkační paměti je takový přechodný proces, při kterém dochází k časovým změnám souřadnic dynamického systému s přiblížením reprezentativního bodu do té oblasti fázového prostoru, kde bylo dříve stacionární řešení stejného dynamického systému. nachází se na blízkých hodnotách parametru bifurkace nebo kde se dříve nacházelo stacionární řešení redukovaného (základního, „statického“, „degenerovaného“) systému k němu konjugovaného. Zvláštnost takové dynamiky je vyjádřena především ve dvou jevech pozorovaných v naznačeném úseku přechodového procesu: 1) v místním poklesu fázové rychlosti a 2) v místní podobnosti fázové trajektorie s tou, která je charakteristická pro ne. již existující stacionární řešení.Moskalenko a kol., 2019 [a 16]

Historie studia

Nejstarší z těch popsaných ve vědecké literatuře na toto téma by měl být pravděpodobně uznán jako výsledek prezentovaný v roce 1973 ve Zprávách Akademie věd SSSR [a 17] , které byly získány pod vedením akademika L. S. Pontryagina a poté inicioval řadu zahraničních studií matematického problému známého jako „ vzpěrné zpoždění “. [a 9]

Výzkum jedinečně narušených systémů vedl koncem 70. let k identifikaci „řešení kachny“ a vývoji teorie nazvané „ nestandardní analýza “ [a 4] [a 5] [a 6] . Později, v dílech ruských vědců, jsou „kachny řešení“ považovány za „ jednorozměrné pomalé integrální potrubí, „slepené“ z nestabilních a stabilních částí “. [3]

Zprávy o jevech „zpoždění a paměti“ v upraveném modelu FitzHugh-Nagumo byly publikovány v 80. letech [a 18] [a 19] , navíc s náznakem podobnosti s fenomény „oddálení ztráty stability“ , které studoval A. I. Neishtadt [ a 20] [a 1] [a 21] přibližně ve stejnou dobu.

Bylo navrženo [a 16] , že již v roce 1961 FitzHugh popsal [a 22] jevy, které jsou velmi podobné BP a že tyto výsledky by měly být považovány za nejranější pozorování "bifurkační paměti" v experimentu. FitzHugh je označuje slovy „kvaziprahové jevy“, čímž zdůrazňuje skutečnost, že výsledky získané v jeho experimentech se výrazně lišily od těch, které byly obvykle pozorovány při experimentálních pracích o fyziologii excitabilních tkání a které byly fyziology označeny jako „ prahový efekt“ neboli reakce podle principu „ všechno nebo nic “.

Zájem o studium podivného chování dynamických systémů v určité oblasti stavového prostoru byl opět vyvolán snahou vysvětlit nelineární efekty zjištěné při řízení lodí, které jsou nestabilní na kurzu (vozidlo pro přepravu po vodě) a se projevují počáteční neovladatelností nebo přechodným snížením ovladatelnosti lodi. [a 8] [a 9]

Od roku 2001 ruští vědci také popsali řadu řešení, označených jako „ černé labutě “ (anglicky: black swans ), což je chápáno jako „ pomalá invariantní varieta proměnné stability “. [a 23] [a 24] [b 3] [a 25]

Následně byly podobné jevy objeveny v biologických systémech popsaných parciálními diferenciálními rovnicemi : v modelu krevního koagulačního systému Zarnitsyna-Morozova-Ataullakhanov [a 26] [a 12] a v Aliev-Panfilovově modelu myokardu [a 27] .

Relevance

Relevance je zjevně dána snahou zabránit stavu snížené ovladatelnosti vozidla. [a 8] [a 9]

V kardiofyzice se uvažuje o zvláštním typu tachykardie spojené s fenoménem bifurkační paměti. [b 4] [b 5]

Byla vyslovena hypotéza [a 16] , že „ život ve své podstatě není nic jiného než typické zpoždění ztráty stability“.

Viz také

Poznámky

Komentáře

  1. ↑ Je třeba mít na paměti, že termín „atraktor duchů“ využívají moderní spisovatelé sci-fi a mají zcela jiný význam. Mělo by se rozlišovat. The Ghost Attractor je vynález Petera Venkmana, jehož zamýšlenou funkcí bylo lákat duchy a redukovat námahu prováděnou Krotiteli duchů. http://ghostbusters.wikia.com/wiki/Ghost_Attractor Archivováno 20. června 2013 na Wayback Machine
  2. ↑ Je třeba mít na paměti, že věta o spojité závislosti řešení diferenciálních rovnic dosud nebyla prokázána pro obecný případ nekonečněrozměrných systémů diferenciálních rovnic – a v tomto smyslu by myšlenka vyjádřená ve výše uvedeném citátu měla stále brát pouze jako věrohodnou hypotézu.

Poznámky pod čarou

  1. ↑ Mishchenko, 1995 , kapitola 4, s. 147–194.
  2. ↑ Neustadt, 1988 , s. 229.
  3. ↑ Sobolev, 2010 , § 8.2. Kachní trajektorie, str. 109–140.

Literatura

Knihy

  1. ↑ Mishchenko E. F. , Kolesov Yu. S. , Kolesov A. Yu. , Rozov N. Kh . Periodické pohyby a bifurkační procesy v singulárně narušených systémech . - M .: Fizmatlit, 1995. - 336 s. — ISBN 5-02-015129-7 .
  2. ↑ Sobolev V.A. , Shchepakina E.A. Redukce modelů a kritických jevů v makrokinetice . - M. : Fizmatlit, 2010. - 320 s. - ISBN 978-5-9221-1269-7 .
  3. ↑ Shchepakina E. , Sobolev V. Černé labutě a kachny v laserových a spalovacích modelech // Singulární perturbace a hystereze  (anglicky) / Eds. Mortell MP, O'Malley RE, Pokrovskii Al., Sobolev V.. - SIAM, 2005. - 360 s. — ISBN 978-089-87-1597-2 .
  4. ↑ Klinická arytmologie / Ed. prof. A. V. Ardaševa . - M. : MEDPRAKTIKA-M, 2009. - 1220 s. - ISBN 978-5-98803-198-7 .
  5. ↑ Moskalenko A. Tachykardie jako „Shadow Play“ // Tachykardie  (anglicky) / Takumi Yamada, editor. - Chorvatsko: InTech, 2012. - S. 97-122. — 202p. — ISBN 978-953-51-0413-1 .

Články

  1. ↑ 1 2 Neishtadt A. I. O oddálení ztráty stability při dynamických bifurkacích. I  // Diferenciální rovnice : časopis. - 1987. - T. 23 , č. 12 . — S. 2060–2067 .
  2. ↑ Neishtadt A. Zpoždění ztráty stability pro dynamické bifurkace  (anglicky)  // Diskrétní a spojité dynamické systémy, Series S: journal. - 2009. - Sv. 2 , ne. 4 . — S. 897–909 .
  3. ↑ Erneux T. , Mandel P. Nedokonalá bifurkace s pomalu se měnícím řídicím parametrem  //  SIAM Journal on Applied Mathematics: journal. - 1986. - Sv. 46 , č. 11 . — S. 1–15 .
  4. ↑ 1 2 Benoît E. , Callot JL , Diener F. , Diener M. Chasse au canard  (fr.)  // Collect. Matematika. : časopis. - 1981. - Sv. 31 , č . 1–3 . — S. 37–119 .
  5. ↑ 1 2 Cartier P. Singulární poruchy obyčejných diferenciálních rovnic a nestandardní analýza  // Uspekhi Mat. Nauk: zhurnal. - 1984. - T. 39 , č. 2 . — s. 57–76 .
  6. ↑ 1 2 Zvonkin A. K. , Shubin M. A. Nestandardní analýza a singulární poruchy obyčejných diferenciálních rovnic  // Uspekhi Mat. Nauk: zhurnal. - 1984. - T. 39 , č. 2 . — s. 77–127 .
  7. ↑ Deco G , Jirsa VK . Probíhající kortikální aktivita v klidu: kritičnost, multistabilita a atraktory duchů.  (anglicky)  // J Neurosci : journal. - 2012. - Sv. 32 , č. 10 . — S. 3366–75 . - doi : 10.1523/JNEUROSCI.2523-11.2012 .
  8. ↑ 1 2 3 4 Feigin M. I. Projev bifurkačních paměťových efektů v chování dynamického systému  // Soros Educational Journal: Journal. - 2001. - T. 7 , č. 3 . — S. 121–127 . Archivováno z originálu 30. listopadu 2007.
  9. ↑ 1 2 3 4 5 Feigin, M. & Kagan, M. Nouzové události jako projev efektu bifurkační paměti v kontrolovaných nestabilních systémech  (anglicky)  // International Journal of Bifurcation and Chaos : journal. - 2004. - Sv. 14 , č. 7 . — S. 2439–2447 . — ISSN 0218-1274 . - doi : 10.1142/S0218127404010746 .
  10. ↑ Tichonov A. N. O závislosti řešení diferenciálních rovnic na malém parametru  // Matematická sbírka: časopis. - 1948. - T. 22 , č. 2 . — S. 193–204 .
  11. ↑ Tichonov A. N. Systémy diferenciálních rovnic obsahující malé parametry při derivacích  // Matematická sbírka: časopis. - 1952. - T. 31 , č. 3 . — S. 575–586 .
  12. ↑ 1 2 3 Ataullakhanov F. I. , Lobanova E S , Morozova O. L. , Shnol E. E. , Ermakova E. A. , Butylin A. A. , Zaikin A. N. Komplexní způsoby šíření excitace a samoorganizace v modelech koagulace krve  UFN: časopis // - 2007. - T. 177 , č. 1 . — S. 87–104 . — ISSN 0042-1294 . - doi : 10.3367/UFNr.0177.200701d.0087 .
  13. ↑ 1 2 Feigin M.I. _ _  _ - 2008. - V. 3 , č. 7 . — S. 21–25 . — ISSN 2070-6847 .
  14. ↑ Golodova Ye  . _ _ SamGU. Přírodní věda ser. : časopis. - 2013. - č. 3 . — S. 12–24 . — ISSN 2541-7525 .
  15. ↑ Nishiura Y & Ueyama D. A skeleton structure of self-replikating dynamics  (anglicky)  // Physica D : journal. - 1999. - Sv. 130 , č. 1–2 . — S. 73–104 . — ISSN 0167-2789 . - doi : 10.1016/S0167-2789(99)00010-X .
  16. ↑ 1 2 3 Moskalenko A. V. , Tetuev R. K. , Makhortykh S. A. O stavu výzkumu bifurkačních jevů paměti a zpoždění  . M.V. Keldysh: deník. - 2019. - č. 109 . — S. 1–44 . — ISSN 2071-2901 . - doi : 10.20948/prepr-2019-109 .
  17. ↑ Shishkova M. A. Úvaha o soustavě diferenciálních rovnic s malým parametrem při vyšších derivacích  // Dokl. - 1973. - T. 209 , č. 3 . — S. 576–579 .
  18. ↑ Mandel P. , Erneux T. Pomalý průchod ustálenou bifurkací: zpoždění a paměťové efekty  //  J. Statist. Phys. : časopis. - 1987. - Sv. 48 . - S. 1059-1070 .
  19. ↑ Baer SM Erneux T. , Rinzel J. Pomalý průchod Hopfovou bifurkací: Zpoždění, paměťové a rezonanční efekty  //  SIAM Journal on Applied Mathematics: journal. - 1989. - Sv. 49 , č. 1 . — S. 55–71 .
  20. ↑ Neishtadt A. I. Asymptotická studie ztráty rovnovážné stability s párem vlastních čísel pomalu procházejících pomyslnou osou  // Uspekhi Matem. vědy: časopis. - 1985. - T. 40 , č. 5 . — S. 190–191 .
  21. ↑ Neishtadt A. I. O oddálení ztráty stability při dynamických bifurkacích. II  // Diferenciální rovnice : časopis. - 1988. - T. 24 , č. 2 . — S. 226–233 .
  22. ↑ FitzHugh R. Impulzy a fyziologické stavy v teoretických modelech nervové membrány   // Biophys . J.: časopis. - 1961. - Sv. 1 . — S. 445–466 .
  23. ↑ Shchepakina E. , Sobolev V. Integrální manifoldy, kachny a černé labutě  (anglicky)  // Nelineární analýza. : časopis. - 2001. - Sv. 44 , č. 7 . — S. 897–908 . — ISSN 0362-546X . - doi : 10.1016/S0362-546X(99)00312-0 .
  24. ↑ Shchepakina E. Černé labutě a kachny v problému samovznícení  (anglicky)  // Nonlinear Analysis: Real World Application: journal. - 2003. - Ne. 4 . — S. 45–50 . — ISSN 1468-1218 . - doi : 10.1016/S1468-1218(02)00012-3 .
  25. ↑ Shchepakina E. Černé labutě a kachny ve dvou modelech predátor - jedna kořist   // Matematika . Modelka. Nat. jev. : časopis. - 2019. - Sv. 14 , č. 4 . — S. 408 . — ISSN 1760-6101 . - doi : 10.1051/mmnp/2019024 .
  26. ↑ Ataullakhanov F.I. , Zarnitsyna V.I. , Kondratovič A.Yu. , Lobanova E. S. , Sarbash V. I. Speciální třída autovln - autovlny se zarážkou - určuje prostorovou dynamiku koagulace krve  // ​​UFN : journal. - 2002. - T. 172 , č. 6 . — S. 671–690 . — ISSN 0042-1294 . - doi : 10.3367/UFNr.0172.200206c.0671 .
  27. ↑ Yelkin Yu. E. , Moskalenko A. V. , Starmer Ch. F. Spontánní zastavení driftu spirální vlny v homogenním excitovatelném médiu  // Matematická biologie a bioinformatika: časopis. - 2007. - T. 2 , č. 1 . — s. 73–81 . — ISSN 1994-6538 .