Bordismus

Bordismus , také bordismus - topologický termín , používaný samostatně nebo jako součást standardních frází v několika příbuzných významech, téměř ve všech z nich namísto bordismu dříve mluvili o kobordismu , zachovala se i stará terminologie.

Neorientované bordismy

Neorientované bordismy jsou nejjednodušší variantou bordismů. Dvě hladké uzavřené dimenzionální variety a jsou bordantní (omezující nebo vnitřně homologní), pokud existuje hladká kompaktní dimenzionální varieta (nazývaná film ), jejíž hranice se skládá ze dvou variet a , (nebo přesněji manifoldů a difeomorfních, v tomto pořadí, a přes některé difeomorfismy a ). Množina manifoldů, které jsou vzájemně sousedící, se nazývá bordismus třídy a trojice se nazývá bordismus (přesnější by bylo mluvit o pěti ). $n$ $M$ $M'$ $(n+1)$ $W$ $M$ $M'$ $M_{0}$ $M_{1}$ $M$ $M'$ $g_{0}\dvojtečka M\to M_{0}$ ${\displaystyle g_{1}\dvojtečka M'\to M_{1))$ $(W,\;M_{0},\;M_{1})$ $(W,\;M_{0},\;M_{1},\;g_{0},\;g_{1})$

Soubor tříd bordismu -dimenzionálních variet tvoří abelovskou skupinu relativně odděleného spojení , nazývanou skupina bordismu . Nula v něm je třída bordismů, sestávající z variet, které jsou hranicí nějaké variety (jiná jména: - bounding manifold , - vnitřně homologní , nebo hraničící s nulou). Prvek inverzní k dané třídě bordismů je tato třída samotná (protože spojení dvou kopií je difeomorfní k hranici přímého součinu ). Přímý součet grup je komutativní odstupňovaný kruh , jehož násobení je vyvoláno přímým součinem variet, s jednotkou danou třídou bordismu bodu. $n$ $\Omega _{n}^{O}$ $M$ $M$ $\Omega _{n}^{O}$ $M$ $M\times [0,\;1]$ $\Omega _{*}^{O}$ $\Omega _{n}^{O}$

Bordismy s dodatečnou strukturou

Orientované bordismy

Orientované bordismy jsou nejjednodušším typem bordismů hladkých uzavřených rozdělovačů s přídavnou strukturou. Dvě orientované manifoldy a jsou orientovány bordantně , pokud jsou bordantní v prvním smyslu a film je orientován a (v dřívějším zápisu) orientace vyvolaná orientací na a (jako na částech hranice) přechází pod difeomorfismy a , respektive na počáteční orientaci a na orientaci , opačnou k původní orientaci . Podobně jsou představeny skupiny orientovaných bordismů a anulus . $M$ $M'$ $W$ $W$ $M_{0}$ $M_{1}$ $g_{0}$ $g_{1}$ $M$ $M'$ $\Omega _{n}^{O}$ $\Omega _{*}^{O}$ $\Omega _{n}^{SO}$ $\Omega _{*}^{SO}$

Další možnosti

Dalšími varietami bordismů variet s dodatečnou strukturou jsou velmi důležité bordismy kvazikomplexních variet (nazývané též unitární bordismy), bordismy variet, na které působí skupina transformací, jsou bordismy. Existují i varianty trochu jiného druhu, pro po částech lineární nebo topologické variety, pro Poincarého komplexy atd. Zvláštní postavení zaujímají foliační bordismy a -bordismy (dříve nazývané -ekvivalence); posledně jmenované slouží k propojení diferenciální a homotopické topologie. $\mathrm {Spin}$ $J$

Vlastnosti

Dvě manifoldy jsou bordantní právě tehdy, když mají stejná charakteristická čísla ( Stiefel-Whitney čísla v neorientovatelném případě a Stiefel-Whitney čísla a Pontryaginova čísla v orientovatelném případě ).

Historie

Prvním příkladem je bordismus orámovaných variet zavedený v roce 1938 Pontrjaginem , který ukázal, že klasifikace těchto bordismů je ekvivalentní výpočtu homotopických skupin koulí , a tímto způsobem byl schopen najít a . Neorientované a orientované bordismy zavedl v letech 1951-53 Rokhlin , který vypočítal pro . Pontryagin dokázal, že pokud jsou dvě manifoldy bordantní, pak mají stejná charakteristická čísla . Následně se ukázalo, že to platí i naopak. $\pi _{i}(S^{n})$ $\pi _{n+1}(S^{n})$ $\pi _{n+2}(S^{n})$ $\Omega _{n}^{SO}$ $n\leqslant 4$

Literatura

Milnor J., Wallace A. Diferenciální topologie / Per. z angličtiny. — M .: Mir, 1972. — 280 s.

Viz také

$h$ - kobordismus