Úplně odpojený prostor

V topologii a příbuzných odvětvích matematiky je totálně odpojený prostor ( dědičně odpojený , rozptýlený ) topologický prostor , který nemá žádné netriviální spojené podmnožiny. V libovolném topologickém prostoru jsou prázdná množina a jednobodové množiny spojeny. Ve zcela odpojeném prostoru jsou to jediné připojené podmnožiny.

Důležitým příkladem zcela odpojeného prostoru je sada Cantor . Dalším příkladem, který hraje klíčovou roli v algebraické teorii čísel, je p -adické číselné pole . ${\mathbb {Q}}_{p}$

Definice

O topologickém prostoru X se říká , že je zcela odpojen , pokud jsou součástí X pouze jednobodové množiny .

Příklady

Diskrétní prostor
Sada racionálních čísel
Mnoho iracionálních čísel
Množina p -adických čísel .
- Obecněji řečeno, zcela odpojené jsou profinitní skupiny
Sada Cantor
Baerův prostor (Teorie množin)
Přímý Sorgenfrey
Nultý-dimenzionální Hausdorffův prostor
Nulový rozměr T 1 -prostoru
Extrémně odpojený Hausdorffův prostor
kamenný prostor
Ventilátor Knaster-Kuratowski je příkladem spojeného prostoru, který se zcela odpojí, když je odstraněn pouze jeden bod.

Vlastnosti

Podprostory , produkty a vedlejší produkty zcela odpojených prostorů jsou zcela odpojeny.
Zcela odpojené prostory jsou T 1 - prostory , pokud jsou body uzavřené .
Při kontinuálním mapování není obraz zcela odpojeného prostoru, obecně řečeno, nutně zcela odpojen.
Lokálně kompaktní Hausdorffův prostor je nulový rozměr právě tehdy, když je zcela odpojen.
Nějaký totálně odpojený kompaktní metrický prostor je homeomorphic k podmnožině počitatelného součinu jednotlivých prostorů .

Konstrukce odpojeného prostoru

Nechť je libovolný topologický prostor. Nechat tehdy a jen tehdy, když (kde označuje maximální připojenou podmnožinu obsahující ). Je zřejmé, že relace je relací ekvivalence , proto lze sestrojit odpovídající podílový prostor . Topologie on je přirozeně indukována topologií on , jmenovitě otevřené podmnožiny jsou přesně ty množiny tříd ekvivalence, jejichž inverzní obraz pod faktorizačním mapováním je otevřený v Při troše snahy lze ukázat, co je docela nesouvislé. Máme také následující univerzální vlastnost : pokud je spojité zobrazení do zcela nespojeného prostoru, pak je jednoznačně reprezentovatelné ve formě , kde je zobrazení spojité a je to faktorizační zobrazení. $X$ $x\sim y$ $y\in {\mathrm {conn}} (x)$ ${\mathrm {conn}} (x)$ $X$ $\sim$ $X/{\sim }.$ $X/{\sim }$ $X,$ $X/{\sim }$ $X.$ $X/{\sim }$ $f:X\šipka doprava Y$ $f={\breve {f}}\circ m,$ ${\breve {f}}:(X/\sim )\rightarrow Y$ $m$

Viz také

Odkazy

Totálně-odpojený prostor - Encyklopedie matematiky , ISBN 1402006098 .