Výpočet souřadnic průsečíků kružnic o stejné výšce svítidel

Výpočet souřadnic průsečíků kružnic o stejné výšce svítidel - Gaussem navržená analytická metoda pro určení zeměpisných souřadnic polohy pozorovatele z naměřených výšek dvou svítidel a jejich deklinací a hodinových úhlů , bez grafických konstrukcí na mapa. Používá se v astronomické navigaci spolu se Somnerovou metodou a metodou přenosu (metoda St. Hilaire) . Není-li možné určit dobu pozorování, metoda přesto umožňuje vypočítat zeměpisnou šířku polohy pozorovatele.

Obecně tato metoda nevyžaduje znalost očíslovaného místa , protože pozorování třetího svítidla nám umožňuje eliminovat nejednoznačnost při určování místa pro první dvě. Pokud není možné pozorovat třetí svítidlo, doporučuje se pro vyřešení nejednoznačnosti změřit azimuty pozorovaných svítidel a porovnat je s azimuty vypočtenými pro oba průsečíky. Přijatelná přesnost snímání azimutů je ±10°. $(\varphi _{c};\lambda _{c})$

Počáteční údaje

V určitém časovém okamžiku získalo pozorování výšky dvou svítidel nad obzorem , respektive [ 1] . Také, z almanachu , jejich deklinace se vztahovaly k tomuto okamžiku, a ; a úhly Greenwichské hodiny a . Severní deklinace a východní délka jsou považovány za kladné hodnoty, jižní deklinace a západní délka jsou záporné, při výpočtech je nutné dodržovat konvenci o znacích veličin . $UT_{o}$ ${\displaystyle h_{o1))$ ${\displaystyle h_{o2))$ $\delta _{1}$ $\delta _{2}$ ${\displaystyle t_{G1))$ ${\displaystyle t_{G2))$

Pokud jsou vybranými svítidly hvězdy, jejichž deklinace a rektascenze mohou být během dne nezměněny, místo úhlů Greenwichské hodiny je přípustné použít hodnoty jejich rektascenzí vyjádřené v úhlové míře nebo hvězdné doplňky , . V tomto případě se geografická šířka polohy pozorovatele vypočítá bez znalosti přesného času pozorování svítidel. $\alpha$ ${\displaystyle \tau ^{\star ))$

Průběh výpočtu

Uvažujme paralaktické trojúhelníky a , kde je severní nebeský pól , a jsou pozorovaná tělesa, je zenit pozorovatele. a jsou zenitové vzdálenosti svítidel. $PZ\sigma _{1}$ $PZ\sigma _{2}$ $P_{N}$ $\sigma_1$ $\sigma_2$ $Z$ ${\displaystyle z_{1}=90^{\circ }-h_{o1))$ ${\displaystyle z_{2}=90^{\circ }-h_{o2))$

V první fázi výpočtů (určení zeměpisné šířky) je vyžadována hodnota hodinového úhlu mezi svítidly , kterou je v případě pozorování planet, Slunce nebo Měsíce nutné získat z jejich greenwichských hodinových úhlů: $\Delta t$

{\displaystyle \Delta t=t_{G2}-t_{G1))

Při pozorování hvězd lze tuto hodnotu získat z hodnot jejich rektascenzí:

\Delta t=15^{\left[{\frac {\circ }{h}}\right]}\cdot (\alpha _{2}^{[h]}-\alpha _{1} ^{[h]})

Z hvězdných přírůstků:

\Delta t=\underbrace {(t_{G}^{\curlyvee }+\tau _{2}^{\star })} _{t_{G2}}-\underbrace {(t_{G} ^{\curlyvee }+\tau _{1}^{\star })} _{t_{G1}}=\tau _{2}^{\star }-\tau _{1}^{\star }

V kroku výpočtu zeměpisné délky budou potřeba skutečné hodnoty úhlů Greenwichské hodiny.

Podle zákona kosinus

Úhlová vzdálenost mezi svítidly : $D_{12}$

\cos(D_{12})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\delta _{1})\cdot \cos( \delta _{2})\cdot \cos(\Delta t)

Konstantní část paralaktického úhlu , , u prvního svítidla: $q_{1}$

\cos(q_{1})={\frac {\sin(\delta _{2})-\sin(\delta _{1})\cdot \cos(D_{12})}{\ cos(\delta _{1})\cdot \sin(D_{12})}}={\frac {\sin(\delta _{2})}{\cos(\delta _{1})\cdot \sin(D_{12})}}-{\frac {\tan(\delta _{1})}{\tan(D_{12})}}

Proměnná část paralaktického úhlu, , od první hvězdy k pozorovateli: ${\displaystyle \Delta q_{1))$

\cos(\Delta q_{1})={\frac {\sin(h_{o2})-\sin(h_{o1})\cdot \cos(D_{12})}{\cos( h_{o1})\cdot \sin(D_{12})}}={\frac {\sin(h_{o2})}{\cos(h_{o1})\cdot \sin(D_{12}) }}-{\frac {\tan(h_{o1})}{\tan(D_{12})}}

Pozorovatel může být umístěn v jednom ze dvou bodů nebo , umístěn symetricky vzhledem k oblouku , skutečná hodnota paralaktického úhlu může být součtem nebo rozdílem úhlů a . $Fix_{1}$ ${\displaystyle Fix_{2))$ $D_{12}$ $q_{1}$ ${\displaystyle \Delta q_{1))$

Zeměpisná šířka první křižovatky : $\varphi _{(q_{1}+\Delta q_{1})}$

\sin(\varphi _{(q_{1}+\Delta q_{1})})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(h_{o1})+\cos( \delta _{1})\cdot \cos(h_{o1})\cdot \cos(q_{1}+\Delta q_{1})

Zeměpisná šířka druhé křižovatky : $\varphi _{(q_{1}-\Delta q_{1})}$

\sin(\varphi _{(q_{1}-\Delta q_{1})})=\sin(\delta _{1})\cdot \sin(h_{o1})+\cos( \delta _{1})\cdot \cos(h_{o1})\cdot \cos(q_{1}-\Delta q_{1})

Na základě hrubého odhadu aktuální polohy pozorovatele se vybere hodnota zeměpisné šířky , která je nejblíže očekávané hodnotě. S tím se provádějí další výpočty. $\varphi _{o}$

Znaménko úhlu lze určit, aniž bychom se pokoušeli vypočítat obě hodnoty zeměpisné šířky. Stačí zkontrolovat s typem trojúhelníku : pokud jsou očíslované místo a vyvýšený pól světa na stejné straně oblouku , měla by se hodnota brát se znaménkem mínus, pokud očíslované místo a pól pólu svět jsou na různých stranách, hodnotu je třeba brát se znaménkem plus. ${\displaystyle \Delta q_{1))$ ${\displaystyle P\sigma _{1}\sigma _{2))$ $D_{12}$ ${\displaystyle \Delta q_{1))$ ${\displaystyle \Delta q_{1))$

Hlavní hodnota místního hodinového úhlu , , prvního svítidla pro zeměpisnou šířku : $t_{1}$ $\varphi _{o}$

\cos(t_{1})={\frac {\sin(h_{o1})-\sin(\delta _{1})\cdot \sin(\varphi _{o})}{\ cos(\delta _{1})\cdot \cos(\varphi _{o})}}={\frac {\sin(h_{o1})}{\cos(\delta _{1})\cdot \cos(\varphi _{o})}}-\tan(\delta _{1})\cdot \tan(\varphi _{o})

Protože funkce $\arccos(x)$ vždy vrací hodnoty úhlů v rozsahu , skutečná hodnota místního hodinového úhlu , je určena polohou hvězdy vzhledem k poledníku pozorovatele: pokud je na západ, pak , pokud do tedy východ . $0^{\circ }...180^{\circ }$ $t_{m1_{i))$ $t_{m1_{I}}=t_{1}$ $t_{m1_{II}}=360^{\circ }-t_{1}$

Pokud je hvězda blízko poledníku pozorovatele, může být obtížné s jistotou určit její východní nebo západní azimut, zejména pro svítidla umístěná blízko zenitu. Pro výběr skutečné hodnoty hodinového úhlu je třeba vypočítat výšku druhé hvězdy, očekávanou pro obě možné hodnoty , a porovnat s pozorovanou hodnotou . $t_{m1_{i))$ ${\displaystyle h_{o2))$

t_{m2_{I}}=\underbrace {(t_{m1_{I}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{I}}}+t_{G2}

je místní hodinový úhel druhého svítidla při hlavní hodnotě funkce

\arccos(\cos(t_{1}))

t_{m2_{II}}=\underbrace {(t_{m1_{II}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{II}}}+t_{G2}

je místní hodinový úhel druhého svítidla při druhé možné hodnotě vstupní proměnné

\sin(h_{c2_{I))=\sin(\varphi _{o})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\varphi _{o})\cdot \ cos(\delta _{2})\cdot \cos(t_{m2_{I}})

- vypočtená výška druhého svítidla pro dané místo

(\varphi _{o};\lambda _{o_{I)))

\sin(h_{c2_{II))=\sin(\varphi _{o})\cdot \sin(\delta _{2})+\cos(\varphi _{o})\cdot \ cos(\delta _{2})\cdot \cos(t_{m2_{II}})

- vypočtená výška druhého svítidla pro dané místo

(\varphi _{o};\lambda _{o_{II)))

Zeměpisná délka se vypočítá s hodnotou hodinového úhlu, , prvního svítidla, při které jsou vypočtená, , a pozorovaná, , výška druhého svítidla konzistentní. $t_{m1_{i))$ $h_{c2_{i))$ ${\displaystyle h_{o2))$

Zeměpisná délka vybraného průsečíku kružnic o stejné výšce, : $\lambda _{o}$

\lambda _{o}=t_{m1_{i}}-t_{G1}

Jsou určeny zeměpisné souřadnice a umístění pozorovatele v daném okamžiku . $\varphi _{o}$ $\lambda _{o}$ $UT_{o}$

Rozlišení nejednoznačnosti

Pokud by pro pozorování byla k dispozici pouze dvě svítidla, např. Slunce a Měsíc, a nejednoznačnost ve výběru souřadnic nelze odstranit pozorováním třetího svítidla a místo výpočtu není známo ani přibližně, je nutné vypočítat azimuty jednoho ze svítidel pro obě křižovatky a porovnat je s pozorovanými hodnotami.

Azimut hvězdy : $A$

\cos(A)={\frac {\sin(\delta )-\sin(h)\cdot \sin(\varphi _{i})}{\cos(h)\cdot \cos(\ varphi _{i})}}={\frac {\sin(\delta )}{\cos(h)\cdot \cos(\varphi _{i))}}-\tan(h)\cdot \tan (\varphi _{i})

Pro výběr správné hodnoty zeměpisné šířky (a v budoucnu i zeměpisné délky) stačí mít odhad azimutu pozorovaného svítidla s tolerancí ±10°.

S pomocí haversines

Souřadnice průsečíků podle stejných výchozích dat lze vypočítat [2] pomocí jediné goniometrické funkce - křivky úhlu, . Pro získání souřadnicové přesnosti jedné obloukové minuty je vhodná 4místná tabulka přirozených hodnot haversines [3] , která umožňuje provádět výpočty bez použití elektronických kalkulaček nebo tabulek logaritmů hodnot několika goniometrických funkcí. . $\operatorname {hav} (\theta )$

Pomocná množství a : $F$ $G$

F=\operatorname {hav} (\delta _{2}-\delta _{1})

G=\operatorname {hav} (\delta _{2}+\delta _{1})

Úhlová vzdálenost mezi svítidly : $D_{12}$

\operatorname {hav} (D_{12})=F+(1-FG)\cdot \operatorname {hav} (\Delta t)

Úhel doplňkový k : $D_{12}$

{\displaystyle D^{*}=90^{\circ }-D_{12))

Zenitová vzdálenost , , prvního svítidla; zenitová vzdálenost , a polární vzdálenost , , druhé hvězdy: $z_{1}$ $z_{2}$ $p_{2}$

{\displaystyle z_{1}=90^{\circ }-h_{o1))

{\displaystyle z_{2}=90^{\circ }-h_{o2))

{\displaystyle p_{2}=90^{\circ }-\delta _{2))

Polární vzdálenost se vždy měří od severního nebeského pólu.

Pomocná množství , , , a : $J$ $K$ $L$ $P$ $R$ $S$

J=\operatorname {hav} (h_{o1}-D^{*})

K=\operatorname {hav} (h_{o1}+D^{*})

L=\operatorname {hav} (\delta _{1}-D^{*})

P=\operatorname {hav} (\delta _{1}+D^{*})

R=\operatorname {hav} (\delta _{1}-h_{o1})

S=\operatorname {hav} (\delta _{1}+h_{o1})

Pomocný koutek : $\alpha$

\operatorname {hav} (\alpha )={\frac {\operatorname {hav} (z_{2})-J}{1-KJ))

Pomocný koutek : $(\alpha +\beta )$

\operatorname {hav} (\alpha +\beta )={\frac {\operatorname {hav} (p_{2})-L}{1-PL))

Pomocný úhel vztahující se k prvnímu průsečíku kružnic stejné výšky: $\beta _{I}$

\beta _{I}=(\alpha +\beta )-\alpha

Úhel doplňující zeměpisnou šířku a zeměpisnou šířku prvního průsečíku : $\phi _{I}^{*}$ $\varphi _{I}$

\operatorname {hav} (\phi _{I}^{*})=R+(1-RS)\cdot \operatorname {hav} (\beta _{I})

\varphi _{I}=90^{\circ }-\phi _{I}^{*}

Pokud získaná hodnota zeměpisné šířky nesouhlasí s přibližným odhadem aktuální polohy pozorovatele, vypočítá se zeměpisná šířka druhého průsečíku kružnic stejné výšky:

\beta _{II}=(360^{\circ }-(\alpha +\beta ))-\alpha

\operatorname {hav} (\phi _{II}^{*})=R+(1-RS)\cdot \operatorname {hav} (\beta _{II})

\varphi _{II}=90^{\circ }-\phi _{II}^{*}

Další výpočty se provádějí s vybranou hodnotou . $\varphi _{o}$

Pomocná množství a : $U$ $PROTI$

U=\operatorname {hav} (\delta _{1}-\varphi _{o})

V=\operatorname {hav} (\delta _{1}+\varphi _{o})

Základní hodnota místního hodinového úhlu , , prvního svítidla pro zeměpisnou šířku : $t_{1}$ $\varphi _{o}$

\operatorname {hav} (t_{1})={\frac {\operatorname {hav} (z_{1})-U}{1-VU))

Protože funkce vždy vrací hodnoty úhlů v rozsahu , skutečná hodnota místního hodinového úhlu , je určena polohou hvězdy vzhledem k poledníku pozorovatele: pokud je na západ, pak , pokud do tedy východ . $\operatorname {archav} (x)$ $0^{\circ }...180^{\circ }$ $t_{m1_{i))$ $t_{m1_{I}}=t_{1}$ $t_{m1_{II}}=360^{\circ }-t_{1}$

Pokud je hvězda blízko poledníku pozorovatele, může být obtížné s jistotou určit její východní nebo západní azimut, zejména pro svítidla umístěná blízko zenitu. Pro výběr hodnoty hodinového úhlu je třeba vypočítat výšku druhého svítidla, očekávanou pro obě možné hodnoty, a porovnat s pozorovanou hodnotou . ${\displaystyle h_{o2))$

t_{m2_{I}}=\underbrace {(t_{m1_{I}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{I}}}+t_{G2}

je místní hodinový úhel druhého svítidla při hlavní hodnotě funkce

\operatorname {archav} (\operatorname {hav} (t_{1}))

t_{m2_{II}}=\underbrace {(t_{m1_{II}}-t_{G1})} _{\lambda _{o_{II}}}+t_{G2}

je místní hodinový úhel druhého svítidla při druhé možné hodnotě vstupní proměnné

M=\operatorname {hav} (\delta _{2}-\varphi _{o})

N=\operatorname {hav} (\delta _{2}+\varphi _{o})

\operatorname {hav} (z_{c2_{I)))=M+(1-MN)\cdot \operatorname {hav} (t_{m2_{I))))

\operatorname {hav} (z_{c2_{II)))=M+(1-MN)\cdot \operatorname {hav} (t_{m2_{II)))

Oblouk je zenitová vzdálenost druhého svítidla, vypočtená pro místo . $z_{c2_{i))$ $(\varphi _{o};\lambda _{o_{i)))$

h_{c2_{i}}=90^{\circ }-z_{c2_{i}}

je vypočtená výška druhého svítidla.

Zeměpisná délka průsečíku : $\lambda _{o}$

\lambda _{o}=t_{m1_{i}}-t_{G1}

Jsou určeny zeměpisné souřadnice a umístění pozorovatele v daném okamžiku . $\varphi _{o}$ $\lambda _{o}$ $UT_{o}$

Rozlišení nejednoznačnosti

Úhlová vzdálenost svítidla od vyvýšeného sloupu : $ePD$

ePD={\begin{cases}90^{\circ }-\vert \delta \vert &\quad \delta {\text{ a }}\varphi _{i}{\text{ stejného jména (obě severní nebo obě jižní polokoule)))\\90^{\circ }+\vert \delta \vert &\quad \delta {\text{ a }}\varphi _{i}{\text{ různé)) \end{ případy}}

Azimut hvězdy : $A$

\operatorname {hav} (A)={\frac {\operatorname {hav} (ePD)-\operatorname {hav} (\vert \varphi _{i}\vert -h)}{1-\operatorname {hav} (\vert \varphi _{i}\vert -h)-\jméno operátora {hav} (\vert \varphi _{i}\vert +h)))

Pro výběr správné hodnoty zeměpisné šířky (a v budoucnu i zeměpisné délky) stačí mít odhad azimutu pozorovaného svítidla s tolerancí ±10°.

Poznámky

↑ Pokud nebyly současně měřeny výšky svítidel, je nutné výšku jednoho z nich korigovat redukcí na jeden moment , pokud byl pozorovatel v pohybu, je navíc nutné výšku přiblížit na jeden zenit .
↑ Lars Bergman, oprava All-Haversine . Získáno 23. září 2019. Archivováno z originálu dne 23. září 2019. (neurčitý)
↑ 4místná tabulka přirozených hodnot havarijů, PDF, 51kB

Odkazy

Literatura

Kapitán 3. pozice A. Lusis, Určení místa hvězdami pomocí vylepšené metody výškových izolinií , "Sea Collection" 1988 č. 12, str. 65