Geodetický tok

Geodetický tok na manifoldu je tok (nebo jinými slovy jednoparametrová skupina difeomorfismů ) na tečném svazku , jehož trajektorie jsou definovány následovně: každý vektor se pohybuje vpřed podél geodetické tečny k němu v čase , zatímco zůstává tečnou do této geodetické .

V jistém smyslu takový tok zobecňuje pohyb konstantní rychlostí v euklidovském prostoru . Je také vhodné zdůraznit, že geodetické proudění je navzdory názvu prouděním ve smyslu dynamických systémů, definovaných přesně na tečném svazku , nikoli na samotném potrubí .

Často se uvažuje geodetický tok na prostoru jednotkových tečných vektorů (protože délka vektoru je zachována pod geodetickým tokem).

Na geodetickou tokovou rovnici v Riemannově manifoldu lze pohlížet jako na rovnici hamiltonovské mechaniky při nulové potenciální energii.

Příklady

• Jak bylo uvedeno výše, pro standardní euklidovskou metriku geodetický tok definuje pohyb konstantní rychlostí:

• Trajektorie geodetického toku na Lobačevského rovině inklinují k absolutnímu jak v dopředném, tak i zpětném čase.
• Geodetický tok na množině negativního zakřivení se ukazuje jako Anosovův tok : jeho dynamika je chaotická. Zvláštním případem je tok na Riemannově povrchu rodu , opatřený Poincaré metrickou .

Viz také

• Geodetické
• Fermatův princip
• Oricyklický tok

Literatura

• Dubrovin B.A., Novikov S.P., Fomenko A.T., Moderní geometrie, v.2. Geometrie rozdělovačů. M.: Editorial URSS, 1998.