Hallova hypotéza

Hallova domněnka je nevyřešená číselně teoretická hypotéza pro rok 2015 o horním odhadu řešení Diophantine Mordellovy rovnice pro daný . Má několik formulací různé síly. Byl formulován Hallem v roce 1971. $y^{2}=x^{3}+k$ $k\neq 0$

Formulace a upřesnění

Původní znění je:

Existuje konstanta taková, že if for a then . $C>0$ $y^{2}=x^{3}+k$ $x,y,k\in \mathbb {Z}$ $k\neq 0$ ${\displaystyle |x|\leqslant C|k|^{2))$

Ze specifických řešení různých rovnic pro různé rovnice lze získat dolní odhady pro . Nejsilnější příklad našel Elkis v roce 1998: $k$ $C$

447884928428402042307918^{2}-5853886516781223^{3}=-1641843

Z toho vychází odhad . To činí hypotézu v této formulaci nevěrohodnou, ačkoli tato formulace nebyla vyvrácena. $C>2171$

Stark a Trotter v roce 1980 navrhli oslabenou verzi Hallova dohadu:

Pro všechny existuje konstanta taková, že pokud pro a , pak . $\epsilon > 0$ $C(\epsilon )>0$ $y^{2}=x^{3}+k$ $x,y,k\in \mathbb {Z}$ $k\neq 0$ $|x|\leqslant C(\epsilon )|k|^{2+\epsilon }$

Kvůli nevěrohodnosti původní verze Hallovy hypotézy se nyní Hallova hypotéza nazývá její oslabená verze s . $\epsilon$

Bylo prokázáno, že index 2 v hodnocení nelze snížit - hypotéza se pro hodnocení druhu stává nesprávnou (Danilov, 1982). $|x|\leqslant C|k|^{2-\epsilon }$

Davenportův teorém - analog Hallovy hypotézy pro polynomy

V roce 1965 Davenport dokázal analogii Hallova dohadu pro polynomy:

Pokud , kde , tak . $g(t)^{2}=f(t)^{3}+k(t)$ $k(t)\neq \mathrm {const} ,f(t),g(t)\neq 0$ $\deg f(t)\leqslant 2(\deg k(t)-1)$

Tato věta bezprostředně vyplývá z Mason-Stothersovy věty , analogie ABC-hypotézy pro polynomy: Nechť být párově coprime nekonstantní polynomy takové, že , pak $a(t),b(t),c(t)$ $a+b=c$

\max\{\deg(a),\deg(b),\deg(c)\}\leqslant \deg(\operatorname {rad} (abc))-1.

Zde je radikál polynomu , tedy součin jeho různých prvočinitelů. $\mathrm {rad} (f)$

Substituce , , dává 2 nerovnosti: $c=g^{2}$ ${\displaystyle a=f^{3))$ $b=k$

3\deg f,2\deg g\leqslant \deg f+\deg g+\deg k-1

ze kterého je věta odvozena.

Vztah k hypotéze ABC

Hallova hypotéza vyplývá z hypotézy ABC . Z hypotézy ABC hned vyplývá ještě silnější, tzv. Hallova radikální domněnka :

Pro všechny existuje konstanta taková, že pokud pro a , pak . $\epsilon > 0$ $C(\epsilon )>0$ $y^{2}=x^{3}+k$ $x,y,k\in \mathbb {Z}$ $k\neq 0$ ${\text{gcd}}(x,y)=1$ $|x|\leqslant C(\epsilon )\mathrm {rad} (k)^{2+\epsilon }$

Zde je radikál celého čísla . $\mathrm {rad} (k)$ $k$

Ukazuje se, že Hallova radikální domněnka také implikuje hypotézu ABC. Toto tvrzení je však netriviální. [1] [2]

Zobecnění Hallovy domněnky do jiných stupňů je Pillaiova domněnka .

Poznámky

↑ Schmidt, Wolfgang M. Diofantické aproximace a diofantické rovnice (neurčité) . — 2. - Springer-Verlag , 1996. - T. 1467. - S. 205-206. — (Poznámky z matematiky). — ISBN 3-540-54058-X .
↑ Bombieri, Gubler. Výšky v diofantické geometrii (neopr.) . - Cambridge University Press , 2006. - T. 652. - S. 424-435. — ISBN 0-511-14061-4 .

Literatura

Richard K Guy . Neřešené problémy v teorii čísel (neopr.) . — 3. - Springer-Verlag , 2004. - P. D9. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
Hall, Jr., Marshall. Diofantická rovnice x 3 - y 2 = k // Počítače v teorii čísel (neopr.) / Atkin, AOL; Birch, BJ. - 1971. - S. 173 -198. — ISBN 0-12-065750-3 .

Odkazy

Stránka o problému Archivováno 22. února 2018 na Wayback Machine od Noama Elkies
Tabulka dobrých příkladů dohadu Marshalla Halla od Ismaela Jimeneze Calva.