Hlavní ideál

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. ledna 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Hlavním ideálem je ideál generovaný jedním prvkem.

Neexistuje žádná obecně přijímaná notace pro hlavní ideály. Někdy se zápis , , používá pro levý, pravý a oboustranný hlavní ideály prvku prstenu, resp. $\mathrm {lid} _{R}a$ $\mathrm {rid} _{R}a$ $\mathrm {id} _{R}a$ $A$ $R$

Definice

Levý ideál prstenu se nazývá hlavní levý ideál , pokud je generován jediným prvkem . Principiální pravé ideály a hlavní oboustranné ideály jsou definovány podobně . $R$ $A$

Jestliže je komutativní kruh , pak jsou tyto tři pojmy ekvivalentní. V tomto případě je ideál generovaný pomocí označen . $R$ $A$ $(A)$

V případě asociativního kruhu s jednotkou jsou hlavní ideály popsány následovně.

${\displaystyle \mathrm {l\,id} _{R}a=Ra=\{ra:r\in R\))$ .
${\displaystyle \mathrm {r\,id} _{R}a=aR=\{ar:r\in R\))$ .
$\mathrm {id} _{R}a=RaR=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+\tečky +r_{n}ar'_ {n}:r_{1},r'_{1},\tečky ,r_{n},r'_{n}\in R\}$ .

Jestliže je asociativní kruh (obecně řečeno, bez jednoty), pak $R$

${\displaystyle \mathrm {l\,id} _{R}a=Ra+\mathbb {Z} a=\{ra+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \))$ .
${\displaystyle \mathrm {r\,id} _{R}a=aR+\mathbb {Z} a=\{ar+ma:r\in R,m\in \mathbb {Z} \))$ .
$\mathrm {id} _{R}a=RaR+aR+Ra+\mathbb {Z} a=\{r_{1}ar'_{1}+r_{2}ar'_{2}+ \dots +r_{n}ar'_{n}+ar'+r''a+ma:r',r'',r_{1},r'_{1},\dots ,r_{n} ,r'_{n}\in R,m\in \mathbb {Z} \}$ .

Ne všechny ideály jsou ty hlavní. Uvažujme například komutativní polynomický kruh s komplexními koeficienty ve dvou proměnných a . Ideál generovaný polynomy a , (tj. ideál sestávající z polynomů, jejichž volný člen je roven nule) nebude hlavní. Abychom to dokázali, předpokládejme, že tento ideál je generován nějakým prvkem ; pak musí být dělitelné a . To je možné pouze v případě, že je nenulová konstanta. Ale v jediné konstantě – nule. Dostáváme se k rozporu. $\mathbb {C} [x,y]$ $X$ $y$ $(x,y)$ $X$ $y$ $a\in \mathbb {C} [x,y]$ $X$ $y$ $A$ $(x,y)$

Související definice

Prsten, jehož všechny ideály jsou hlavní, se nazývá hlavní ideální prsten .
Nedílný kruh hlavních ideálů je také nazýván doménou hlavních ideálů . V oblastech hlavních ideálů platí základní teorém aritmetiky (jakýkoli prvek lze jedinečně rozložit na prvočinitele); důkaz této skutečnosti je stejný jako důkaz pro případ celých čísel .

Příklady

Všechny euklidovské kruhy jsou hlavní ideální domény; v nich lze použít Euklidův algoritmus k nalezení generujícího prvku daného ideálu . Obecně, nějaké dva hlavní ideály komutativního prstenu mají největšího společného dělitele ve smyslu ideálního násobení ; díky tomu lze v oblastech hlavních ideálů vypočítat (až do násobení invertibilním prvkem ) GCD prvků a jako generující prvek ideálu . $A$ $b$ $(a,b)$

Literatura

Vinberg E.B. Kurz algebry. - 3. vyd. - M. : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 výtisků. — ISBN 5-88688-060-7 .