Polynom

Polynom (nebo polynom z řeckého πολυ- „mnoho“ + latinské nomen „jméno“) proměnných je součet monočlenů nebo, přísně, konečný formální součet tvaru. $n$ ${\displaystyle x_{1},x_{2},...x_{n))$

P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{I}c_{I}x_{1}^{i_{1}}x_{2}^{i_{2} }\cdots x_{n}^{i_{n}}

, kde

$I=(i_{1},i_{2},\tečky ,i_{n})$ - množina nezáporných celých čísel , nazývaná multiindex , $n$
$c_{I}$ - číslo zvané koeficient polynomu , závislé pouze na multiindexu . ${\mathit {I}}$

Zejména polynom v jedné proměnné je konečný formální součet formy

{\displaystyle P(x)=c_{0}+c_{1}x^{1}+\tečky +c_{m}x^{m))

, kde

$c_{i}$ — pevné koeficienty ,
$X$ - variabilní .

Pomocí polynomu jsou představeny pojmy " algebraická rovnice ", " algebraická funkce " a " algebraické číslo ".

Studium a přihláška

Studium polynomiálních rovnic a jejich řešení po dlouhou dobu bylo možná hlavním předmětem "klasické algebry ".

Se studiem polynomů je spojena řada transformací v matematice : zavedení nulových , záporných a poté komplexních čísel , stejně jako vznik teorie grup jako odvětví matematiky a oddělení tříd speciálních funkcí v matematické analýze . .

Vzhledem k tomu, že výpočty zahrnující polynomy jsou ve srovnání se složitějšími třídami funkcí jednoduché, a vzhledem k tomu, že množina polynomů je hustá v prostoru spojitých funkcí na kompaktních podmnožinách euklidovského prostoru (viz Weierstrassova věta o aproximaci ), expanzní metody v řada a polynomiální interpolace v počtu .

Polynomy také hrají klíčovou roli v algebraické geometrii . Jejím klíčovým objektem jsou množiny, definované jako řešení soustav polynomiálních rovnic .

Speciální vlastnosti transformačních koeficientů při násobení polynomů se používají v algebraické geometrii , algebře , teorii uzlů a dalších odvětvích matematiky ke kódování nebo vyjádření vlastností různých objektů pomocí polynomů.

Související definice

Pohledový polynom se nazývá monomiální nebo víceindexový monomický . $cx_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ $I=(i_{1},\tečky ,\,i_{n})$
Monomial odpovídající multi-indexu se nazývá volný člen . $I=(0,\tečky,\,0)$
Plná mocnina (nenulového) monočlenu se nazývá celé číslo . $c_{I}x_{1}^{{i_{1}}}x_{2}^{{i_{2}}}\cdots x_{n}^{{i_{n}}}$ $|I|=i_{1}+i_{2}+\tečky +i_{n}$
Množina multiindexů , pro které jsou koeficienty nenulové, se nazývá nositel polynomu a její konvexní obal se nazývá Newtonův mnohostěn . ${\mathit {I}}$ $c_{I}$
Stupeň polynomu je maximum stupňů jeho monočlenů. Stupeň shodné nuly je buď považován za neurčitý, nebo je dále definován hodnotounebo(viz stupeň nulového polynomu ). [jeden] $-jeden$ $-\infty$
Polynom, který je součtem dvou monočlenů, se nazývá binom nebo binom ,
Polynom, který je součtem tří monomií, se nazývá trinom nebo trinom .
Koeficienty polynomu jsou obvykle převzaty ze zvláštního komutativního kruhu (nejčastěji pole , jako je pole reálných nebo komplexních čísel ). V tomto případě s ohledem na operace sčítání a násobení tvoří polynomy kruh (navíc asociativně-komutativní algebra nad kruhem bez nulových dělitelů ), který se značí . $R$ $R$ $R[x_1,x_2,\tečky,x_n]$
Pro polynom v jedné proměnné se řešení rovnice nazývá její kořen . $p(x)$ $p(x)=0$

Polynomiální funkce

Dovolit být algebra nad kruhem Libovolný polynom definuje funkci polynomu $A$ $R.$ $p(x)\in R[x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n}]$

p_{R}\dvojtečka A\to A.

Nejčastěji zvažovaný případ $A=R.$

Jestliže je těleso reálných nebo komplexních čísel (nebo jakékoli jiné těleso s nekonečným počtem prvků ), funkce zcela určuje polynom p . To však neplatí v obecném případě, například: polynomy a z definují shodně stejné funkce . $R$ $f_{p}\colon R^{n}\to R$ $p_{1}(x)\ekviv x$ $p_{2}(x)\ekviv x^{2}$ $\mathbb{Z } _{2}[x]$ $\mathbb{Z } _{2}\to \mathbb{Z } _{2}$

Polynomiální funkce jedné reálné proměnné se nazývá celá racionální funkce .

Typy polynomů

Polynom v jedné proměnné se nazývá unitární , normalizovaný nebo redukovaný , pokud je jeho vedoucí koeficient roven jedné.
Polynom, jehož monomiály mají všechny stejný plný stupeň, se nazývá homogenní .
- Například - homogenní polynom dvou proměnných, ale není homogenní. $x^{2}+xy+y^{2}$ $x^{2}+y+1$
Polynom, který lze znázornit jako součin polynomů nižších stupňů s koeficienty z daného pole, se nazývá redukovatelný (nad daným polem), jinak se nazývá ireducibilní .

Vlastnosti

Polynomiální kruh nad libovolnou doménou integrity je sám doménou integrity.
Polynomiální kruh v libovolném konečném počtu proměnných nad jakýmkoli faktoriálním kruhem je sám o sobě faktoriál.
Prstenec polynomů v jedné proměnné nad polem je prstencem hlavních ideálů , to znamená, že některý z jeho ideálů může být generován jedním prvkem.
- Navíc, polynomial prsten v jedné proměnné přes pole je Euclidean prsten .
Racionální kořenový teorém .

Dělitelnost

Role ireducibilních polynomů v polynomickém kruhu je podobná roli prvočísel v kruhu celých čísel . Například, teorém je pravdivý: jestliže produkt polynomials je dělitelný ireducibilním polynomial , pak p nebo q je dělitelný . Každý polynom stupně většího než nula se v daném oboru jedinečným způsobem rozloží na součin neredukovatelných faktorů (až do faktorů stupně nula). $pq$ $\lambda$ $\lambda$

Například polynom , který je neredukovatelný v oboru racionálních čísel , lze rozložit do tří faktorů v oboru reálných čísel a do čtyř faktorů v oboru komplexních čísel. $x^{4}-2$

Obecně platí, že každý polynom v jedné proměnné se v oboru reálných čísel rozkládá na faktory prvního a druhého stupně, v oboru komplexních čísel na faktory prvního stupně ( základní věta algebry ). $X$

U dvou a více proměnných to již nelze tvrdit. Přes jakékoli pole, pro libovolné , existují polynomy v proměnných, které jsou neredukovatelné v jakémkoli rozšíření tohoto pole. Takové polynomy se nazývají absolutně neredukovatelné. $n>2$ $n$

Variace a zobecnění

Pokud jsou v definici povoleny i záporné mocniny, pak se výsledný objekt nazývá Laurentův polynom .
kvazi-polynom
Trigonometrický polynom
Mocninná řada

Viz také

Literatura

Vinberg E. B. Algebra polynomů. - M . : Vzdělávání, 1980. - 176 s.
Kurosh A. G. Kurz vyšší algebry, 9. vydání. - M. , 1968.
Mishina A. P., Proskuryakov I. V. Vyšší algebra, 2. vyd. - M. , 1965.
Solodovnikov A.S., Rodina M.A. Praktická kniha algebry. - M . : Vzdělávání, 1985. - 127 s.
Prasolov VV polynomy . — M .: MTsNMO , 2003. — 336 s. — ISBN 5-94057-077-1 .
Faddeev DK, Sominsky IS Sbírka úloh z vyšší algebry. - M. , 1977.

Poznámky

↑ Eric W. Weisstein. Nulový polynom . mathworld.wolfram.com . Získáno 28. května 2021. Archivováno z originálu dne 1. května 2021.

Odkazy

Polynom / A. I. Markushevich // Velká sovětská encyklopedie : [ve 30 svazcích] / kap. vyd. A. M. Prochorov . - 3. vyd. - M .: Sovětská encyklopedie, 1969-1978.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velká Katalánština Velký Rus Britannica (online) Universalis
V bibliografických katalozích	BNF : 119786822 J9U : 987007563144505171 LCCN : sh85104702 NDL : 00572625 NKC : ph135425