Homotopické skupiny

Homotopické grupy jsou invariantem topologických prostorů, jedním ze základních konceptů algebraické topologie .

Neformálně řečeno, klasifikují zobrazení z vícerozměrných sfér do daného topologického prostoru až po spojitou deformaci. Ačkoli je snadné definovat homotopické skupiny, je velmi obtížné je vypočítat, dokonce i pro koule. To je odlišuje od homologních skupin , které se snadněji počítají, ale hůře definují. Nejjednodušším speciálním případem homotopických grup je základní grupa .

Definice

Nechť je topologický prostor, ; je jednotková krychle, tj. , a je hranicí této krychle, tj. množina bodů krychle taková, že nebo 1 pro některé . Množina homotopických tříd spojitých zobrazení , pro kterou je označena (navíc jde do bodu pro všechna zobrazení a homotopie). Na této množině lze násobení prvků definovat takto: $X$ $x_{0}\v X$ $I^{n}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots ,t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}$ $\částečné I^{n}$ $t_{i}=0$ $i$ $[F]$ $f\dvojtečka I^{n}\to X$ $f(\částečné I^{n})=x_{0}\v X$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $\částečné I^{n}$ $x_{0}$

[f][g]=[f*g]

kde

f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=f(2t_{1},t_{2},\ldots t_{n})

, pokud

0\leqslant t_{1}\leqslant {\frac {1}{2))

f*g(t_{1},t_{2},\ldots t_{n})=g(2t_{1}-1,t_{2},\ldots t_{n})

, pokud

{\frac {1}{2}}\leqslant t_{1}\leqslant 1

Protože na hranici krychle je násobení definováno správně. Je snadné zkontrolovat, že závisí pouze na homotopické třídě a . Toto násobení splňuje všechny axiomy grupy . V případě, že člověk získá složení uzavřených cest a je tedy základní skupinou . Pro n>1 se nazývají vyšší homotopické skupiny. $f=g=x_{0}$ $[f*g]$ $[F]$ $[G]$ $n=1$ $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi _{n}(X,x_{0})$

Spojité zobrazení prostorů odpovídá homomorfismu a tato korespondence je funktoriální , to znamená, že součin spojitých zobrazení odpovídá součinu homomorfismů homotopických grup a totožné zobrazení odpovídá shodnému homomorfismu . Pokud je zobrazení homotopické , pak . $F\dvojtečka (X,x_{0})\to (Y,y_{0})$ $F_{*}\dvojtečka \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(Y,y_{0})$ $(FG)_{*}=F_{*}G_{*}$ $(id)_{*}=id_{*}$ $F$ $G$ $F_{*}=G_{*}$

Závislost počátečního bodu

Na rozdíl od homologních skupin zahrnuje definice homotopických skupin jeden význačný bod . Ve skutečnosti v případě prostorů spojených s cestami homotopické grupy nezávisí na volbě bodu, i když v obecném případě neexistuje žádný kanonický izomorfismus. $H_{n}(X)$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $x_{0}$

Abelianita vyšších homotopických skupin

Zatímco základní skupina je obecně neabelovská , pro všechna n>1 jsou abelovská, to znamená . Vizuální důkaz této skutečnosti je vidět na následujícím obrázku (světle modré oblasti jsou namapovány na tečku ): $\pi _{1}(X,x_{0})$ $\pi _{n}(X,x_{0})$ $[f][g]=[g][f]$ $x_{0}$

Relativní homotopické grupy a přesné homotopické sekvence

Relativní homotopické skupiny jsou definovány pro prostor , jeho podprostor a význačný bod . Nechť je jednotková krychle ( ), je hranice této krychle a nechť a je plocha krychle definované rovnicí . Množina homotopických tříd spojitých zobrazení , pro které a na ostatních plochách je označena (navíc jde do , a do bodu pro všechna zobrazení a homotopie). $X$ $A\podmnožina X$ $x_{0}\v X$ $I^{n}\subset \mathbb{R} ^{n}$ $I^{n}=\{(t_{1},t_{2},\ldots t_{n}):0\leqslant t_{i}\leqslant 1\}$ $\částečné I^{n}$ $I^{{n-1}}\subset \partial I^{n}$ $t_{n}=0$ $[F]$ $f\dvojtečka I^{n}\to X$ $f\dvojtečka I^{{n-1}}\to A$ $f\colon \partial I^{n}\setminus \operatorname {Int}(I^{{n-1}})\to x_{0}$ $\pi _{n}(X,A,x_{0})$ $já^{{n-1}}$ $A$ $\partial I^{n}\setminus \operatorname {Int}(I^{{n-1}})$ $x_{0}$

Stejným způsobem jako dříve můžeme dokázat, že pro tuto množinu tvoří grupu, relativní homotopickou grupu řádu . Pokud , pak předchozí obrázek dokazuje, že je to Abelian. (Pro n=2 důkaz selže, protože body mohou jít do jiných bodů než .) $n\geqslant 2$ $n$ $n\geqslant 3$ $\pi _{n}(X,A,x_{0})$ $I^{1}=\{x:x_{2}=0\}$ $A$ $x_{0}$

Vkládání indukuje homomorfismus a vkládání (zde by to mělo být chápáno jako ) indukuje homomorfismus . Jakýkoli prvek je definován mapováním , které se zejména mapuje na , a f je shodně rovno , definující prvek z . Dostaneme tedy zobrazení , které je homomorfismem. Máme následující posloupnost grup a homomorfismů: $i\dvojtečka (A,x_{0})\to (X,x_{0})$ $i_{*}\dvojtečka \pi _{n}(A,x_{0})\to \pi _{n}(X,x_{0})$ $j\dvojtečka (X,x_{0})\to (X,A,x_{0})$ $(X,x_{0})$ $(X, x_{0}, x_{0})$ $j_{*}\dvojtečka \pi _{n}(X,x_{0})\to \pi _{n}(X,A,x_{0})$ $[f]\in \pi _{n}(X,A,x_{0})$ $F$ $já^{{n-1}}$ $A$ $\částečné I^{{n-1}}$ $x_{0}$ $\pi _{{n-1}}(A,x_{0})$ $\částečné \pi _{n}(X,A,x_{0})\to \pi _{{n-1}}(A,x_{0})$

\dots ~{\longrightarrow }\pi _{n}(A,x_{0}){\stackrel {i_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,x_{ 0}){\stackrel {j_{*n}}{\longrightarrow }}\pi _{n}(X,A,x_{0}){\stackrel {\partial _{n}}{\longrightarrow }} \pi _{n-1}(A,x_{0}){\longrightarrow }~\tečky

Tato sekvence je přesná , to znamená, že obraz jakéhokoli homomorfismu se shoduje s jádrem dalšího homomorfismu. Proto v případě, kdy pro všechny , je hraniční homomorfismus izomorfismus. $\pi _{n}(X,x_{0})=0$ $n\geqslant 1$ $\partial \colon \pi _{{n+1}}(X,A,x_{0})\to \pi _{n}(A,x_{0})$

Historie

Základní grupu představil tvůrce topologie Henri Poincaré , vyšší homotopické grupy zavedl Vitold Gurevich . Přes jednoduchost jejich definice je výpočet konkrétních grup (i pro tak jednoduché prostory, jako jsou vysokorozměrné koule S n (viz homotopické grupy koulí ), často velmi obtížný úkol a obecné metody byly získány až v polovině 20. století s příchodem spektrálních sekvencí .

Literatura

Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie: Metody a aplikace. — M .: Nauka, 1979
Rokhlin V. A., Fuchs D. B. Počáteční kurz topologie. Geometrické hlavy. — M .: Nauka, 1977
Switzer R. M. Algebraická topologie — homotopie a homologie. — M .: Nauka, 1985
Spanier E. Algebraická topologie. — M .: Mir, 1971
Fomenko A. T., Fuchs D. B. Kurz topologie homotopie. — M .: Nauka, 1989