Skupina Coxeter

Skupina Coxeter je skupina vytvořená odrazy ve tvářích mnohostěnu , ve kterém je každý úhel dvoustěnu nedílnou součástí (to znamená, že se rovná nějakému celému číslu ). Takové mnohostěny se nazývají Coxeterovy mnohostěny . Coxeter skupiny jsou definovány pro polyhedra v euklidovském prostoru , na kouli , a také v Lobachevsky prostoru . $n$ $\pi$ $\pi /k$ $k$

Příklady

Konečné Coxeterovy grupy jsou izomorfní, zvláště k Weylovým grupám jednoduchých Lieových algeber.
Coxeterovy mnohostěny v euklidovském prostoru dimenze : $n$
- $n$ -rozměrná krychle libovolného rozměru.
- $n$ -rozměrný simplex tvořený body se souřadnicemi takovými, že . $(x_{1},x_{2},\tečky ,x_{n})$ $0\leqslant x_{1}\leqslant x_{2}\leqslant \ldots \leqslant x_{n}\leqslant 1$
Coxeter polyhedra v jednotkové sféře dimenze : $n$
- pravidelný -rozměrný simplex se stranou . $n$ $\pi/2$
Coxeter polyhedra v Lobačevského prostorech:
- Pravidelný mnohoúhelník s úhlem . $k$ $\pi/m$
- Pravidelný obdélníkový dvanáctistěn v rozměru . $3$
- Pravidelné obdélníkové sto dvacet buněk v rozměru . $čtyři$

Vlastnosti

Coxeterovy skupiny jsou popsány a klasifikovány pomocí Coxeter-Dynkinových diagramů .
Polyhedron Coxeter je základní doménou skupiny Coxeter.
- Konkrétně Coxeterův polytop mozaikuje prostor .
- Konkrétně jakákoli euklidovská skupina Coxeter je příkladem skupiny bodů .
Vinbergova věta. [1] V Lobačevského prostorech neexistují všechny dostatečně velké rozměry ohraničených Coxeterových mnohostěnů.
Sférické Coxeterovy mnohostěny jsou jednoduché.
Coxeterové polytopy jsou jednoduché .
Označte odrazy ve tvářích mnohostěnu a nechť je dihedrální úhel mezi tvářemi a . Nechť , pokud plochy nesvírají v mnohostěnu úhel lomu, a . Pak lze skupinu Coxeter definovat takto: $\{r_1,r_2,\ldots,r_n\}$ $\pi/m_{ij}$ $i$ $j$ $m_{ij}=\infty$ $m_{ii}=1$ $\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle$

Variace a zobecnění

Coxeterovy skupiny jsou také zobecněním třídy skupin popsaných výše, definované pomocí přiřazení : $\left\langle r_1,r_2,\ldots,r_n \mid (r_ir_j)^{m_{ij}}=1\right\rangle$ ,

kde a na .

m_{ii}=1

m_{ij}\geqslant 2

i\neq j

Viz také

Poznámky

↑ E. B. Vinberg , Hyperbolické reflexní skupiny

Literatura

HSM Coxeter. Diskrétní skupiny generované reflexí // Annals of Mathematics . - 1934. - Sv. 35 . - S. 588-621 . - doi : 10.2307/1968753 .