Skupina Ree

Reeovy grupy  jsou grupy typu Lie nad konečným polem , které Ree [1] [2] zkonstruoval z výjimečných automorfismů Dynkinových diagramů , které obracejí směr vícenásobných hran, což zobecňuje Suzukiho grupy , které Suzuki našel pomocí jiné metody. Skupiny byly poslední, které byly objeveny v nekonečných rodinách konečných jednoduchých grup .

Na rozdíl od Steinbergových skupin , Ree skupiny nejsou dány body redukční algebraické grupy definované přes konečné pole. Jinými slovy, neexistuje žádná „algebraická Reeova skupina“ související s Reeovými skupinami stejným způsobem, jakým (řekněme) unitární skupiny souvisí se Steinbergovými skupinami. Existují však některé exotické pseudoreduktivní algebraické grupy nad nedokonalými poli, jejichž konstrukce souvisí s konstrukcí Reeových grup, protože používají stejné exotické automorfismy Dynkinova diagramu, které mění délky kořenů

Sýkorky [3] definovaly Reeovy grupy na nekonečných polích charakteristiky 2 a 3. Sýkorky [4] a Hee [5] zavedly Reeovy grupy nekonečně -dimenzionálních zobecněných Kac-Moodyho algeber .

Budova

Pokud je X Dynkinův diagram, Chevalley zkonstruoval dělitelné algebraické skupiny odpovídající X , konkrétně dal skupiny X ( F ) s hodnotami v poli F. Tyto skupiny mají následující automorfismy:

Steinbergovy a Chevalleyovy grupy lze zkonstruovat jako pevné body endomorfismu X ( F ) pro algebraické uzavření pole F. U Chevalleyových grup je automorfismus Frobeniův endomorfismus F , zatímco u Steinbergových grup je automorfismus Frobeniův endomorfismus vynásobený automorfismem Dynkinova diagramu.

Nad poli charakteristiky 2 skupiny B 2 ( F ) a F 4 ( F ) a nad poli charakteristiky 3 mají skupiny G 2 ( F ) endomorfismus , jehož druhá mocnina je endomorfismus související s Frobeniovým endomorfismem pole F . Zhruba řečeno, tento endomorfismus pochází z automorfismu řádu 2 Dynkinova diagramu, kde je ignorována délka kořenů.

Předpokládejme, že pole F má endomorfismus, jehož druhá mocnina je Frobeniův endomorfismus: . Potom je Reeova skupina definována jako skupina prvků g z X ( F ) tak, že . Pokud je pole F dokonalé, pak a jsou automorfismy a Reeova grupa je skupina pevných bodů involuce na X ( F ) .

V případě, kdy F je konečné těleso řádu p k (s p = 2 nebo 3), existuje Frobeniův čtvercový endomorfismus přesně tehdy, když k = 2 n + 1 je liché, v takovém případě je jedinečný. Toto dává konečné Ree skupiny jako podskupiny B2 (2 2 n + 1 ), F 4 ( 2 2 n + 1 ) a G 2 (3 2 n + 1 ), fixované involucí.

Chevalley skupiny, Steinberg skupiny a Ree skupiny

Spojení mezi Chevalley skupinami, Steinberg skupinami a Ree skupinami je přibližně následující. Na základě Dynkinova diagramu X Chevalley zkonstruoval grupové schéma přes celá čísla Z , jejichž hodnoty nad konečnými poli jsou Chevalleyovy skupiny. Obecně lze vzít pevné body endomorfismu grupy X ( F ) , kde F  je algebraický uzávěr konečného tělesa, takže určitý stupeň je určitým stupněm Frobeniova endomorfismu . Jsou možné tři případy

Ree skupiny typu 2 B 2

Ree skupiny typu 2 B 2 byly poprvé nalezeny Suzuki [6] použitím odlišného přístupu a jsou běžně označovány jako Suzuki skupiny . Rea poznamenal, že je lze konstruovat ze skupin typu B 2 pomocí varianty Steinbergovy konstrukce [7] . Ree si uvědomil, že podobnou konstrukci lze aplikovat na Dynkinovy ​​diagramy F 4 a G 2 , což vede ke dvěma novým rodinám konečných jednoduchých grup|.

Ree skupiny typu 2 G 2

Reeovy skupiny typu 2 G 2 (3 2 n +1 ) zavedl Ree [1] , který ukázal, že jsou všechny jednoduché kromě první skupiny 2 G 2 (3), která je izomorfní ke skupině automorfismu SL 2 (8) . Wilson [8] podal zjednodušenou konstrukci Reeových grup jako automorfismů 7-rozměrného vektorového prostoru nad polem s 3 2 n +1 prvky, které zachovávají bilineární formu, trilineární formu a bilineární součin.

Skupina Ree má řád , kde

Schurův multiplikátor je triviální pro n  ≥ 1 a pro 2 G 2 (3).

Vnější skupina automorfismu je cyklická a má řád.

Skupina Ree je někdy označována jako Ree( q ), R( q ) popř

Reeova skupina má dvojnásobně tranzitivní permutační reprezentaci na bodech a působí jako automorfismy Steinerova systému . Působí také na 7rozměrný vektorový prostor nad polem s q prvky, které jsou podgrupou G 2 ( q ).

2-Sylow podgrupy Reeových grup jsou abelovské s řádem 8. Walterův teorém ukazuje, že pouze ostatní neabelovské konečné jednoduché grupy s Abelovskými Sylow 2-podgrupami jsou projektivní speciální lineární grupy v dimenzi 2 a Jankovy grupy J1 . Tyto skupiny také hrály roli při objevu první novodobé sporadické skupiny. Mají involuční centralizátory tvaru Z /2 Z × PSL 2 ( q ) a při studiu skupin s podobným involučním centralizátorem Janko našel sporadickou grupu J 1 . Kleidman [9] objevil jejich maximální podskupiny.

Ree skupiny typu 2 G 2 je extrémně obtížné popsat. Thompson [10] [11] [12] studoval tento problém a dokázal ukázat, že struktura takové grupy je určena nějakým automorfismem konečného tělesa charakteristiky 3, a pokud je druhou mocninou tohoto automorfismu Frobeniův automorfismus, tak je to v případě, že se jedná o druhou mocninu tohoto automorfismu. pak skupina je skupina Ree. Dal také některé složité podmínky, které automorfismus splňuje . Nakonec Bombieri [13] použil teorii vylučování , aby ukázal, že Thompsonovy podmínky implikují, že ve všech, kromě 178 malých případů, které byly počítačem eliminovány ( Andrew Odlyzko a Hunt). Bombieri si tento problém uvědomil přečtením článku o Gorensteinově klasifikaci [14] , který navrhl, že problém by pomohl vyřešit někdo zvenčí, nikoli teoretik skupin. Angear [15] podal kombinované shrnutí Thompsonova a Bombieriho řešení tohoto problému.

Ree skupiny typu 2 F 4

Skupiny typu Ree zavedl Ree [2] . Jsou jednoduché, kromě prvního , u kterého Sýkorky [16] ukázaly, že má jednoduchou podgrupu indexu 2, která je nyní známá jako skupina sýkorek . Wilson [17] podal zjednodušenou konstrukci Reeových grup jako symetrii 26-rozměrného prostoru nad polem řádu 2 2 n +1 , která zachovává kvadratickou formu, kubickou formu a částečné násobení.

Skupina Ree má pořadí kde . Schurův multiplikátor je triviální. Vnější skupina automorfismu je cyklická s pořadím .

Tyto Reeovy skupiny mají neobvyklé vlastnosti, například Coxeterova skupina páru (B, N) není krystalografická – je to dihedrální skupina řádu 16. Sýkorky [18] ukázaly, že všechny Moufangovy polygony jsou získány z Reeových skupin typu .

Viz také

Poznámky

  1. ↑ 12 Ree , 1960 .
  2. ↑ 12 Ree , 1961 .
  3. ↑ Sýkory, 1960 .
  4. ↑ Sýkorky, 1989 .
  5. ↑ Hee, 1990 .
  6. ↑ Suzuki, 1960 .
  7. ↑ Steinberg, 1959 .
  8. ↑ Wilson, 2010 .
  9. ↑ Kleidman, 1988 .
  10. ↑ Thompson, 1967 .
  11. ↑ Thompson, 1972 .
  12. ↑ Thompson, 1977 .
  13. ↑ Bombieri, 1980 .
  14. ↑ Gorenstein, 1979 .
  15. ↑ Enguehard, 1986 .
  16. ↑ Sýkory, 1964 .
  17. ↑ Wilson, 2010b .
  18. ↑ Sýkory, 1983 .

Literatura

Odkazy