Rotační skupina

Rotační skupina ( turn group ) v mechanice a geometrii - soubor všech rotací kolem počátku v trojrozměrném euklidovském prostoru . Podle definice je rotace kolem počátku lineární transformace , která zachovává délku vektorů a také zachovává orientaci (pravá a levá trojice vektorů). Rotační grupa je izomorfní ke skupině skutečných ortogonálních matic s determinantem 1 (nazývaná speciální ortogonální grupa dimenze 3 - ). $\mathbb {R} ^{3}$ $3\krát 3$ ${\mathrm {SO}} (3)$

Vlastnosti

Všechny rotační skupiny , včetně a , jsou Lieovy skupiny . ${\mathrm {SO}} (n)$ ${\mathrm {SO}} (3)$ $\mathrm {SO} (2)$
Skupiny rotací a obecně pro jsou nekomutativní. ${\mathrm {SO}} (3)$ ${\mathrm {SO}} (n)$ $n > 2$
Grupa je difeomorfní k projektivnímu prostoru dimenze 3. Podle Eulerovy věty o rotaci může být jakákoliv rotace dána přímkou (osa rotace daná jednotkovým vektorem ) procházející středem souřadnic a úhlem . Každou rotaci lze spojit s vektorem a tím identifikovat prvky skupiny rotace s body koule o poloměru . Takové srovnání by však nebylo bijektivní, protože stejné rotaci odpovídají úhly a . Pokud tedy identifikujeme diametrálně opačné body na hranici míče, získáme projektivní prostor . ${\mathrm {SO}} (3)$ $proti$ $\varphi \in [-\pi,\pi]$ $\varphi v$ $\pi$ $\pi$ $-\pi$
Univerzální krycí grupa je speciální unitární grupa , nebo, což je totéž, grupa čtveřic jednotkového modulo (působící na tečný prostor k jednotkové sféře konjugacemi). V tomto případě je krytina dvouvrstvá. ${\mathrm {SO}} (3)$ ${\mathrm {SU}} (2)$

Variace a zobecnění

Někdy se rotační grupy nazývají speciální ortogonální grupa – rotační grupa -rozměrného euklidovského prostoru. Speciálním případem je skupina rovinných rotací neboli U(1) ; na rozdíl od případu rotace trojrozměrného prostoru je komutativní . ${\mathrm {SO}} (n)$ $n$ $\mathrm {SO} (2)$

Viz také

Literatura

Kurz algebry Vinberg E. B. - 3. vyd. - M. : Factorial Press, 2002. - 544 s. - 3000 výtisků. — ISBN 5-88688-060-7 .
Bogopolsky OV Úvod do teorie grup. - M. : Moskva-Iževsk: IKI, 2002. - 148 s. — ISBN 5-93972-165-6 .