Skupina trojúhelníků (2,3,7)

Trojúhelníková grupa (2,3,7) [1]  je trojúhelníková grupa ( von Dyckova grupa ) D (2,3,7) orientaci zachovávajících zobrazení. Důležitým objektem v teorii Riemannových ploch a Lobačevského geometrie v souvislosti s Hurwitzovými plochami , jmenovitě[ upřesnit ] s Riemannovými plochami rodu g s nejvyšším možným řádem skupiny automorfismu rovnou 84( g − 1).

Normální beztorzní podskupiny trojúhelníkové grupy (2,3,7) jsou fuchsovské grupy spojené s Hurwitzovými povrchy , jako je Kleinova kvartika , McBeathův povrch a první Hurwitzův trojitý .

Budovy

Hyperbolická konstrukce

Pro konstrukci trojúhelníkové grupy začneme hyperbolickým trojúhelníkem s úhly π/2, π/3, π/7. Tento trojúhelník je nejmenším hyperbolickým švarcovským trojúhelníkem a jeho odrazy mozaikují rovinu odrazy po stranách. Uvažujme skupinu vytvořenou odrazy kolem stran trojúhelníku. Tato skupina je neeuklidovská krystalografická skupina (samostatná podskupina hyperbolických izometrií ) s tímto trojúhelníkem jako základní doménou . Související obklad je rozdělený sedmiúhelníkový obklad řádu 3 . Trojúhelníková skupina (2,3,7) je definována jako podskupina indexu 2 sestávající z izometrií zachovávajících orientaci a je to fuchsovská skupina (neeuklidovská krystalografická skupina zachovávající orientaci).

Skupinová mise

Skupinu lze specifikovat pomocí dvojice generátorů, g 2 , g 3 , s následujícími vztahy:

Geometricky tyto vztahy odpovídají rotacím o 2π/2, 2π/3 a 2π/7 kolem vrcholů Schwartzova trojúhelníku.

Algebra kvaternionů

Trojúhelníková grupa (2,3,7) může být reprezentována kvaternionovou grupou s normou 1, s příslušným R-řádem [2] v algebře čtveřice . Přesněji řečeno, trojúhelníková grupa je podíl kvaternionové grupy v jejím středu ±1.

Nechť η = 2cos(2π/7). Pak od rovnosti

vidíme, že Q (η) je zcela reálné kubické rozšíření Q . Hyperbolická grupa trojúhelníku (2,3,7) je podgrupa grupy prvků kvaternionové algebry s normou 1, tvořená jako asociativní algebra dvojicí generátorů i a j a vztahy i 2 = j 2 = η , ij = − ji . V algebře čtveřice lze zvolit vhodné pořadí Hurwitzových čtveřic Zde je pořadí generováno prvky

Ve skutečnosti je objednávka volným Z [η]-modulem nad základem . Generátory splňují podmínky

které jsou redukovány na vztahy v trojúhelníkové grupě po převzetí faktorové grupy ve středu.

Vztah s SL(2,R)

Rozšířením skalárů z Q (η) do R (standardním vnořením) dostaneme izomorfismus mezi kvaternionovou algebrou a algebrou M(2, R ) reálných 2 x 2 matic. Volba konkrétního izomorfismu nám umožňuje ukázat grupu trojúhelníku (2,3,7) jako speciální případ Fuchsovy grupy v SL(2, R ) , konkrétně jako faktorovou grupu modulární grupy . To lze vizualizovat pomocí souvisejících obkladů, jak je znázorněno na obrázku vpravo - obklad (2,3,7) disku Poincaré je faktorem prostoru modulárního obkladu horního poloprostoru.

Pro mnoho účelů však není potřeba specifikovat explicitní izomorfismus. Takže stopy grupových prvků (a následně vzdálenost pohybu hyperbolických prvků v horní polorovině , stejně jako systoly Fuchsových podgrup) lze vypočítat pomocí redukovaných stop v kvaternionové algebře podle vzorce

Poznámky

  1. ↑ "Trojúhelníková grupa (2,3,7)" je nejčastěji chápána jako neúplná trojúhelníková grupa Δ(2,3,7) ( Coxeterova grupa se Schwartzovým trojúhelníkem (2,3,7), nebo realizovaná jako hyperbolická reflexní grupa ), a to „obyčejná“ trojúhelníková grupa .
  2. ↑ Slovo „řád“ má mnoho významů. Pořadí je v této souvislosti chápáno jako pořadí prstenu (R-order). Viz Reinerovu knihu Maximum Orders ( Reiner 2003 ).
  3. ↑ Platonické obklady povrchů Riemann: The Modular Group Archivováno 28. října 2009 na Wayback Machine , Gerard Westendorp Archivováno 10. března 2011 na Wayback Machine

Literatura