Oboustranná Laplaceova transformace

Dvoustranná Laplaceova transformace je integrální transformace úzce související s Fourierovou transformací , Mellinovou transformací a pravidelnou a jednostrannou Laplaceovou transformací .

Definice

Jestliže je reálná nebo komplexní funkce reálné proměnné , pak je oboustranná Laplaceova transformace dána vzorcem $f(t)$ $t\in \mathbb {R}$ ${\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}$

{\mathcal {B}}\left\{f(t)\right\}=F(s)=\int _{-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t )\,dt.

Integrál v této definici je považován za nesprávný a konvergentní, pokud existují $\left\{{\begin{matrix}\int _{0}^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt\\\\\int _{-\infty }^ {0}e^{-st}f(t)\,dt\end{matrix}}\right.$

Někdy se do formuláře zapisují oboustranné transformace

{\mathcal {T}}\left\{f(t)\right\}=s{\mathcal {B}}\left\{f\right\}=sF(s)=s\int _ {-\infty }^{\infty }e^{-st}f(t)\,dt.

Obecně může být proměnná buď skutečná, nebo komplexní hodnota. $t$

Vztah k jiným integrálním transformacím

Pokud je Heavisideova funkce , pak lze obvyklou Laplaceovu transformaci vyjádřit pomocí oboustranného vzorce $u(t)$ $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}\left\{f(t)\right\}={\mathcal {B}}\left\{f(t)u(t)\right\}.

A naopak: z oboustranné transformace můžete získat obvyklou podle vzorce

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {L}}f(t)\right\}(s)+\left\{ {\mathcal {L}}f(-t)\right\}(-s).

Mellinova transformace může být vyjádřena v termínech oboustranné Laplaceovy transformace vzorcem

\left\{{\mathcal {M}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {B}}f(e^{-x})\right\}(s)

A naopak: z oboustranné transformace můžete získat Mellinovu transformaci vzorcem

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {M}}f(-\ln x)\right\}(s).

Fourierova transformace může být definována v podmínkách oboustranné Laplaceovy transformace pomocí vzorce

\left\{{\mathcal {B}}f\right\}(s)=\left\{{\mathcal {F}}f\right\}(-is).

Vlastnosti

Vlastnosti Laplaceových transformací

	Časová doména	Jednostranná oblast	Dvoustranná oblast
První derivace	$f'(t)\$	$sF(s)-f(0)\$	$sF(s)\$
Druhá derivace	$f''(t)\$	$s^{2}F(s)-sf(0)-f'(0)\$	$s^{2}F(y)\$

Literatura

LePage, Wilbur R. , Complex Variables and the Laplace Transform for Engineers , Dover Publications, 1980
van der Pol, Balthasar a Bremmer, H., Operační počet založený na dvoustranném Laplaceově integrálu , Chelsea Pub. Co., 3. vydání, 1987

Oboustranná Laplaceova transformace

Definice

Vztah k jiným integrálním transformacím

Vlastnosti

Literatura

Poznámky