Difeomorfismus

Difeomorfismus je zobrazení určitého typu mezi hladkými varietami.

Definice

Difeomorfismus je hladké mapování hladké různice jedna ku jedné do hladké různiny , jejíž inverzní je také hladká. $f\colon M\to N$ $M$ $N$

Obvykle se hladkostí rozumí -hladkost, nicméně stejným způsobem lze definovat difeomorfismy s jiným typem hladkosti, zejména třídou pro jakýkoli přirozený . $C^\infty$ $C^k$ $k$

Příklady

Nejjednoduššími příklady difeomorfismů jsou nedegenerované lineární (afinní) transformace vektorových (resp. afinních) prostorů stejné dimenze.

Související definice

Pokud existuje difeomorfismus pro a , pak říkáme, že a jsou difeomorfní . $M$ $N$ $f\colon M\to N$ $M$ $N$
- Tento vztah se obvykle označuje jako . $M\cong N$
- Všimněte si, že pouze manifoldy stejné dimenze mohou být difeomorfní.

Soubor diffeomorfismů variety do sebe tvoří skupinu nazývanou skupina diffeomorfismu a označovanou . $M$ $M$ $\operatorname {Diff} \,M$

Zobrazení se nazývá lokální difeomorfismus v bodě , pokud jeho omezení na nějaké okolí bodu je difeomorfismus na nějaké okolí bodu . $f\colon M\to N$ $x\v M$ $X$ $y=f(x)\in N$

Vlastnosti

Jakýkoli difeomorfismus je homeomorfismus.
- Opak není pravdou. Navíc existují homeomorfní, ale ne difeomorfní hladké variety (jako je exotická koule ).
Zobrazení jedna ku jedné je difeomorfismus tehdy a jen tehdy, když je hladké zobrazení a jeho jakobián není nikde nulový. $f\colon M\to N$ $F$

Viz také

Homeomorfismus

Literatura

Zorich V. A. Matematická analýza. — M .: Fizmatlit , 1984. — 544 s.
Milnor J., Wallace A. Diferenciální topologie (počáteční kurz), - Libovolné vydání.
Hirsch M. Diferenciální topologie, - Libovolné vydání.
Spivak M. Matematická analýza na varietách. — M.: Mir, 1968.