Anosovův difeomorfismus

Anosovův difeomorfismus je hyperbolický difeomorfismus na celé varietě , zobrazení se stabilní dynamikou s ohledem na malé odchylky. Do teorie dynamických systémů uvedl Dmitrij Anosov . $f\dvojtečka M\šipka doprava M$ $M$

Hyperbolicita na manifoldu znamená, že dochází k rozkladu tečného svazku na přímý součet dvou spojitých podsvazků a , které jsou v dynamice invariantní a dynamika se exponenciálně rozšiřuje a exponenciálně komprimuje: $M$ $TM$ ${\displaystyle E^{u))$ ${\displaystyle E^{s))$ ${\displaystyle E^{u))$ ${\displaystyle E^{s))$

\|f^{n}(v)\|\leqslant c_{1}\,\lambda ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v \in E^{s}

\|f^{n}(v)\|\geqslant c_{2}\,\mu ^{n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\,v \in E^{u}

kde a jsou konstanty. $c_{1},c_{2}>0$ $\mu >1>\lambda >0$

Anosovovy difeomorfismy jsou strukturálně stabilní : pro jakýkoli Anosovův difeomorfismus existuje v prostoru třídních difeomorfismů takové sousedství , z něhož je jakýkoli difeomorfismus konjugován s nějakým homeomorfismem :. Jinými slovy, dynamika malé poruchy se od sebe liší pouze (nepřetržitou) změnou souřadnic. $F$ $C^1$ $G$ $F$ $h$ $f\circ h=h\circ g$ $F$ $F$

Natahovací část definice může být přepsána jako reverzní komprese času:

\|f^{-n}(v)\|\leqslant c_{3}\,\mu ^{-n}\|v\|\quad \forall n\in \mathbb {N} ,\ ,v\in E^{u}

Nejznámějším příkladem Anosova difeomorfismu je působení mapování na dvourozměrný torus . Obecněji: pokud matice nemá vlastní hodnoty rovné v absolutní hodnotě jedné, pak sestup působení A na torus (dobře definovaný, protože zachovává ) bude Anosovův difeomorfismus. $\left({\begin{smallmatrix}2&1\\1&1\end{smallmatrix}}\right)$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{2}=\mathbb {R} ^{2}/\mathbb {Z} ^{2))$ $A\in SL_{n}(\mathbb {Z} )$ ${\displaystyle \mathbb {T} ^{n}=\mathbb {R} ^{n}/\mathbb {Z} ^{n))$ $A$ $\mathbb{Z } ^{n}$

Literatura

V. I. Arnold . Doplňkové kapitoly teorie obyčejných diferenciálních rovnic. — M .: Nauka, 1978.
Katok A. B. , Hasselblat B. Úvod do moderní teorie dynamických systémů s přehledem posledních úspěchů / Per. z angličtiny. vyd. A. S. Gorodetsky. — M .: MTSNMO , 2005. — 464 s. — ISBN 5-94057-063-1 .