Derivace zlomkového integra

Derivace zlomkového integra
Hlavní téma	Fraktální počet [d]
Vzorec popisující zákon nebo větu	$\mathbb {D} ^{q}f$

Zlomková integro-diferenciace v matematické analýze je kombinovaný operátor diferenciace / integrace , jehož pořadí může být libovolné reálné nebo komplexní číslo. Používá se ve zlomkovém počtu . Operátor sám slouží k označení operace převzetí derivace/integrálu zlomkového řádu .

Operátor se obvykle označuje takto: $\mathbb {D} _{t}^{q}.$

Definice

Tři nejčastěji používané vzorce jsou:

Nejjednodušší a nejčastěji používaná formulace. Tento vzorec je zobecněním libovolného pořadí Cauchyho iterovaného integračního vzorce .

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(ta)^{q))}=$
	$={\frac {1}{\Gamma (nq)}}{\frac {d^{n}}{dt^{n}}}\int \limits _{a}^{t}(t -\tau )^{nq-1}f(\tau )\,d\tau ,$

kde .

n=\lceil q\rceil

${}_{a}\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)$	$={\frac {d^{q}\,f(t)}{d(ta)^{q))}=$
	$=\lim _{N\to \infty }\left[{\frac {ta}{N}}\right]^{-q}\sum _{j=0}^{N-1}( -1)^{j}{q \choose j}f\left(tj\left[{\frac {ta}{N}}\right]\right).$

Formálně je podobná integroderivaci Riemann-Liouville, ale rozšiřuje se na periodické funkce s nulovým integrálem za období.

Označte spojitou Fourierovu transformaci jako : ${\mathcal {F}}$

F(\omega )={\mathcal {F}}\{f(t)\}={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(t)e^{-i\omega t}\,dt.

Ve Fourierově prostoru diferenciace odpovídá součinu:

{\mathcal {F}}\left[\mathbb {D} f(t)\right]={\mathcal {F}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\ vpravo]=i\omega {\mathcal {F}}[f(t)].

Proto,

\mathbb {D} f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega ){\mathcal {F}}[f(t)]\right\ },

která se scvrkává na

\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {F}}^{-1}\left\{(i\omega )^{q}{\mathcal {F} [f(t)]\right\}.

Pod Laplaceovou transformací , zde označenou , je diferenciace nahrazena násobením $\mathcal{L}$

{\mathcal {L}}\left[{\frac {df(t)}{dt}}\right]=s{\mathcal {L}}[f(t)].

Zobecněním pro libovolný řád derivování a řešením rovnice pro dostaneme $\mathbb {D} ^{q}f(t)$

\mathbb {D} ^{q}\,f(t)={\mathcal {L}}^{-1}\left\{s^{q}{\mathcal {L}}[f( t)]\vpravo\}.

\mathbb {D} _{t}^{q}\,(f(t)+g(t))=\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t)+ \mathbb {D} _{t}^{q}\,g(t);

\mathbb {D} _{t}^{q}\,(af(t))=a\,\mathbb {D} _{t}^{q}\,f(t).

\mathbb {D} _{t}^{0}\,t=t.

\mathbb {D} _{t}^{q}\;(f(t)g(t))=\sum _{j=0}^{\infty }{q \choose j}\mathbb {D} _{t}^{j}\,f(t)\,\mathbb {D} _{t}^{qj}g(t).

\mathbb {D} _{t}^{a}\mathbb {D} _{t}^{b}\,f(t)=\mathbb {D} _{t}^{a+b }f(t).

obecně nespokojen [1] .

↑ viz Vlastnost 2.4 (str. 75) v Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ Theory and Applications of Fractional Differential Equations. — Elsevier, 2006.

Samko SG , Kilbas AA , Marichev OI Zlomkové integrály a derivace a některé jejich aplikace . - Mn. : Věda a technika, 1987. - 688 s.
Pskhu AV rovnice v parciálních derivacích zlomkového řádu. - M. : Nauka, 2005. - 199 s.
Nakhushev A. M. Zlomkový počet a jeho aplikace. - M. : FIZMATLIT, 2003. - 272 s. — ISBN 5-9221-0440-3 .
Uchaikin VV Metoda frakčních derivátů. - Uljanovsk: Artishok, 2008. - 512 s. - 400 výtisků. - ISBN 978-5-904198-01-5 .

Tarasov VE Modely teoretické fyziky s frakční integro-diferenciací. - M. , Iževsk: RHD, 2011. - 568 s.
Kilbas AA, Srivastava HM, Trujillo JJ Teorie a aplikace zlomkových diferenciálních rovnic. — Amsterdam: Elsevier, 2006.
Samko SG, Kilbas AA, Marichev OI Teorie a aplikace zlomkových integrálů a derivátů. — New York: Gordon and Breach, 1993.
Miller K., Ross B. Úvod do zlomkového počtu a zlomkových diferenciálních rovnic. — New York: Wiley, 1993.
Mainardi F. Zlomkový počet a vlny v lineární viskoelasticitě: Úvod do matematických modelů. - Imperial College Press, 2010. - 368 s.
Podlubný I. Zlomkové diferenciální rovnice. - San Diego: Academic Press, 1999.
Ross B. Stručná historie a výklad základní teorie zlomkového počtu // Lect. Poznámky Math. - 1975. - Sv. 457. - S. 1-36.
Tarasov VE zlomková dynamika: Aplikace zlomkového počtu na dynamiku částic, polí a médií . - Springer, 2010. - 450 s.
Uchaikin VV zlomkové deriváty pro fyziky a inženýry . - Springer, Higher Education Press, 2012. - 385 s.