Jednotkový kruh

Jednotková kružnice je kružnice s poloměrem 1 se středem v počátku [1] . Tento koncept je široce používán k definování a studiu goniometrických funkcí .

Vlastnosti a související pojmy

Vnitřek jednotkového kruhu se nazývá jednotkový kruh .

Pro souřadnice všech bodů na jednotkové kružnici podle Pythagorovy věty platí rovnost . Tuto rovnost lze chápat jako rovnici jednotkového kruhu. $x^2 + y^2 = 1$

Goniometrické funkce

Pomocí jednotkové kružnice lze srozumitelně popsat goniometrické funkce (v souvislosti s takovým popisem se jednotkové kružnici někdy říká „ trigonometrická kružnice “, což není příliš úspěšné, protože se uvažuje o kružnici, a ne kruh ).

Sinus a kosinus lze popsat následovně: pokud spojíte libovolný bod na jednotkové kružnici s počátkem , dostanete segment, který je v úhlu vzhledem ke kladné poloose úsečky. Pak dostaneme [2] : $(x, y)$ $(0, 0)$ $\alpha$

\cos\alpha = x

\sin\alpha = y

Dosazením těchto hodnot do kruhové rovnice získáme: $x^2 + y^2 = 1$

\cos^2\alpha + \sin^2\alpha = 1

(Použije se následující běžný zápis: .) $\cos^2x = (\cos x)^2$

Periodicita goniometrických funkcí je také jasně popsána, protože poloha segmentu odpovídající úhlu nezávisí na počtu „plných otáček“:

\sin(x + 2\pi k) = \sin(x)

\cos(x + 2\pik) = \cos(x)

pro všechna celá čísla , tedy pro . $k$ $k\in \mathbb Z$

Komplexní rovina

V komplexní rovině je jednotkový kruh množinou komplexních čísel , jejichž modul je 1:

{\displaystyle G=\{z:|z|=1\}=\{z:z=e^{i\phi },0\leqslant \phi <2\pi \))

Jakékoli nenulové komplexní číslo lze jednoznačně zapsat tak , že číslo má modul 1, a proto patří do jednotkového kruhu, $z$ $z=|z|u,$ $u$

Množina je podgrupou grupy komplexních čísel násobením. Na druhé straně obsahuje konečné skupiny kořenů -tého stupně jednoty , důležité v algebře, které tvoří vrcholy pravidelného -gonu podél jednotkové kružnice. $G$ $G$ $n$ $n$

Radiánová míra

Radiánovou míru úhlu lze definovat jako délku oblouku, který daný úhel vyřízne z jednotkové kružnice (střed kružnice se shoduje s vrcholem úhlu) [3] .

Variace a zobecnění

Pojem jednotkové kružnice je zobecněn na -rozměrný prostor ( ), v takovém případě se hovoří o „ jednotkové sféře “. $n$ $n>2$

Poznámky

↑ Mathworld .
↑ Gelfand a kol., 2002 , str. 24-27.
↑ Gelfand a kol., 2002 , str. 7-8.

Literatura

Gelfand I. M. , Lvovsky S. M., Toom A. L. Trigonometrie . - M. : MTSNMO, 2002. - 199 s. — ISBN 5-94057-050-X .

Odkazy

Weisstein, Eric W. Unit Circle (anglicky) na webových stránkách Wolfram MathWorld .

Trigonometrie
Všeobecné	Přehled trigonometrie Příběh Používání Funkce Zvrátit Málo používané Generalizovaná trigonometrie
Adresář	Totožnosti Přesné konstanty tabulky jednotkový kruh
Zákony a věty	Sinusová věta Pythagorova věta Kosinová věta Věta tečny Kotangensová věta Řešení trojúhelníků
Matematická analýza	Trigonometrické substituce Integrály ( inverzní funkce ) Deriváty