Jordanov totient

Jordan totient neboli Jordanova funkce [1] je počet - n-tic přirozených čísel menších nebo rovných , které tvoří spolu s množinou koprimých (spolu) čísel. Funkce je zobecněním Eulerovy funkce , která se rovná . Funkce je pojmenována po francouzském matematikovi Jordanovi . $k$ $n$ $n$ $J_{1}$

Definice

Jordanova funkce je multiplikativní a lze ji vypočítat ze vzorce

J_{k}(n)=n^{k}\prod _{p|n}\left(1-{\frac {1}{p^{k))}\right)\,

, kde prochází přes prvočíselníky .

p

n

Vlastnosti

$\sum _{d|n}J_{k}(d)=n^{k}\,$ ,

který lze napsat v konvolučním jazyce Dirichlet jako [2]

J_{k}(n)\star 1=n^{k}\,

, a přes Möbiovy inverze as

{\displaystyle J_{k}(n)=\mu (n)\hvězdička n^{k))

. Protože Dirichletova generující funkce je a Dirichletova generující funkce je , řada for se stává

\mu

1/\zeta(y)

n^{k}

\zeta (sk)

{\displaystyle J_{k))

\sum _{n\geq 1}{\frac {J_{k}(n)}{n^{s))}={\frac {\zeta (sk)}{\zeta (s)} }

Průměrné pořadí prorovné $J_{k}(n)$

{\frac {n^{k}}{\zeta (k+1)))

Funkce Dedekind psi je rovna

\psi (n)={\frac {J_{2}(n)}{J_{1}(n)))

a zkoumáním definice (všimněte si, že každý faktor v součinu prvočísel je kruhový polynom ), lze ukázat, že aritmetické funkce jsou definovány jako nebo jsou celočíselné multiplikativní funkce. ${\displaystyle p_{-k))$ ${\frac {J_{k}(n)}{J_{1}(n)))$ ${\frac {J_{2k}(n)}{J_{k}(n)))$

$\sum _{\delta \mid n}\delta ^{s}J_{r}(\delta )J_{s}\left({\frac {n}{\delta }}\right)=J_ {r+s}(n)$ . [3] [4]

Pořadí maticových skupin

Úplná lineární skupina matic řádu nad má řád [5] $m$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operatorname {GL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2}}\prod _{k=1}^ {m}J_{k}(n).

Speciální lineární skupina řádu nad má řád $m$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operatorname {SL} (m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{\frac {m(m-1)}{2))\prod _{k=2}^ {m}J_{k}(n).

Symplektická skupina matic řádu nad má řád $m$ $\mathbb {Z} _{n}$

|\operatorname {Sp} (2m,\mathbb {Z} _{n})|=n^{m^{2}}\prod _{k=1}^{m}J_{2k}( n).

První dva vzorce objevil Jordan.

Příklady

Výpisy v OEIS J 2 v A007434 , J 3 v A059376 , J 4 v A059377 , J 5 v A059378 , J 6 až J 10 ve výpisech A069091 - A069095 .

Multiplikativní funkce definované poměrem J 2 (n)/J 1 (n) v A001615 , J 3 (n)/J 1 (n) v A160889 , J 4 (n)/J 1 (n) v A160891 , J 5 ( n)/J 1 (n) v A160893 , J 6 (n)/J 1 (n) v A160895 , J 7 (n)/J 1 (n) v A160897 , J 8 (n)/J 1 (n ) v A160908 , J9 (n)/ Ji (n) v A160953 , J10 ( n )/ Ji ( n ) v A160957 , J11 (n)/ Ji ( n ) v A160960 .

Příklady poměrů J2k (n) / Jk (n): J4 (n)/J2 ( n) v A065958 , J6 (n)/J3 ( n ) v A065959 a J 8 (n)/J 4 (n) v A065960 .

Poznámky

↑ Existují další Jordan funkce. Merzlyakov tedy píše: „ Věta . Existuje "jordánská funkce" s následující vlastností: každá konečná grupa G obsahuje abelovskou normální podgrupu A s indexem . $J:\mathbb {N} \to \mathbb {N}$ $GL_{n}(\mathbb {C} )$ $\leqslant L(n)$
↑ Sandor, Crstici, 2004 , str. 106.
↑ Holden, Orrison, Varble .
↑ Gegenbauerův vzorec
↑ Andrica, Piticari, 2004 .

Literatura

Dickson LE Historie teorie čísel , sv. I. - Chelsea Publishing , 1971. - S. 147. - ISBN 0-8284-0086-5 .
M. Ram Murty. Problémy v analytické teorii čísel. - Springer-Verlag , 2001. - T. 206. - S. 11. - ( Absolventské texty z matematiky ). - ISBN 0-387-95143-1 .
Jozsef Sandor, Borislav Crstici. Příručka teorie čísel II. - Dordrecht: Kluwer Academic, 2004. - S. 32–36. — ISBN 1-4020-2546-7 .
Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble. Další zobecnění Eulerovy funkce Totient . Archivováno z originálu 5. března 2016.
Dorin Andrica, Mihai Piticari. O některých rozšířeních Jordanových aritmetických funkcí // Acta universitatis Apulensis. - 2004. - č. 7 .

Odkazy

Merzljakov Yu.I. racionální skupiny. - Moskva: "Nauka", 1980. - (Moderní algebra).

Eulerova funkce
Eulerova funkce $\phi(n)$ Funkce Jordan $J_{k}(n)$ Carmichaelova funkce $\lambda (n)$ netoientní číslo Nekoientní číslo High-Tient Number Vysoké číslo podílu Mírně totientní číslo