Ohýbání (mechanika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 7. února 2019; kontroly vyžadují 7 úprav .

Ohyb - v odolnosti materiálů , typ deformace , při kterém dochází ke zakřivení os přímých tyčí nebo ke změně zakřivení os zakřivených tyčí, ke změně zakřivení / zakřivení střední plochy talíř nebo skořápka. Ohyb je spojen s výskytem ohybových momentů v průřezech nosníku nebo skořepiny. Přímý ohyb nosníku nastává při ohybovém momentuv daném průřezu působí paprsek v rovině procházející jednou z hlavních centrálních os setrvačnosti tohoto průřezu. V případě, že rovina působení ohybového momentu v daném průřezu nosníku neprochází žádnou z hlavních os setrvačnosti tohoto průřezu, nazýváme ohyb šikmý .

Jestliže u přímého nebo šikmého ohybu působí v průřezu nosníku pouze ohybový moment, jedná se o čistý přímý nebo čistě šikmý ohyb . Působí-li v průřezu i příčná síla, pak dochází k příčnému přímému nebo příčnému šikmému ohybu .

Termín "rovný" se často nepoužívá ve jménu přímého čistého a přímého příčného ohybu a nazývají se čistý ohyb a příčný ohyb.

Klasická teorie ohýbání nosníku ( Euler - Bernoulliho teorie )

Tato teorie je základem pro analytické výpočty nosníků a rámů.

Hlavní hypotézy

Hypotéza rovinného řezu (Bernoulliho hypotéza): Řezy nosníku, které jsou rovinné a kolmé k ose před deformací, zůstávají po deformaci rovinné a kolmé na ohnutou osu nosníku. Nebere se tedy v úvahu smyková deformace vrstev vůči sobě. Jediné napětí uvažované v této teorii je axiální napětí ; $\sigma _{z}$

Předpokládá se, že posuny a deformace jsou malé. Předpokládá se, že paprsek je neroztažitelný;

Předpokládá se, že rozměry části paprsku jsou malé ve srovnání s poloměrem zakřivení osy paprsku;

Materiál je považován za lineárně elastický podle Hookova zákona .

Odvození rovnic vztahujících se k silovým faktorům na napětí a deformace

Geometrické poměry

Z hlavních hypotéz vyplývá, že deformace je rozložena po výšce řezu podle lineárního zákona. Podle Hookova zákona , $\varepsilon_{z}$

\sigma _{z}=E\varepsilon _{z}

to znamená, že napětí jsou také rozložena lineárně.

V řezu nosníkem (v rovinném případě) vzniká ohybový moment , příčná síla a podélná síla . Na průřez působí vnější rozložené zatížení . $M_{x}$ $Q_{y}$ $N$ $q$

Uvažujme dvě sousední sekce umístěné v určité vzdálenosti od sebe. V deformovaném stavu jsou vůči sobě natočeny pod úhlem . Vzhledem k tomu, že horní vrstvy jsou natažené a spodní stlačené, je zřejmé, že existuje neutrální vrstva , která zůstává nenapnutá. Na obrázku je zvýrazněn červeně. Změna poloměru zakřivení neutrální vrstvy je zapsána takto: $dz$ $d\theta$

{\frac {1}{\rho }}={\frac {d\theta }{dz}}

Přírůstek délky segmentu AB, který se nachází ve vzdálenosti od neutrální osy, je vyjádřen takto: $y$

\Delta l=(y+\rho )d\theta -\rho d\theta =yd\theta

Takže deformace:

\varepsilon _{z}={\frac {\Delta l}{l))={\frac {yd\theta }{\rho d\theta }}={\frac {y}{\rho }}

Výkonové poměry

Napětí (podle Hookova zákona ):

\sigma _{z}=E\varepsilon _{z}=E{\frac {y}{\rho }}

Vztahujme napětí k silovým činitelům vznikajícím v řezu. Axiální síla je vyjádřena takto:

N=\int \limits _{A}^{{\barva {Bílá}.}}{\sigma _{z}}\,dA=\int \limits _{A}^{{\barva {Bílá}. }}{E{\frac {y}{\rho }}}\,dA={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^({\color {White}}.} } y\,dA

Integrál v posledním výrazu je statický moment řezu kolem osy . Je obvyklé brát jako osu středovou osu řezu, a to tak, že $X$ $X$

S_{x}=\int \limits _{A}^{{\color {White}.}}y\,dA=0

Tedy, . Ohybový moment je vyjádřen takto: $N=0$

M_{x}=\int \limits _{A}^({\color {White}.}}{\sigma _{z}y}\,dA={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^{{\color {White}.}}{y^{2}}\,dA={\frac {E}{\rho }}J_{x}

kde je moment setrvačnosti řezu kolem osy . $J_{x}=\int \limits _{A}^{{\color {White}.}}{y^{2}}\,dA$ $X$

Napětí v řezu lze také redukovat na moment . Aby se tomu zabránilo, je třeba splnit následující podmínku: $Můj}$

M_{y}={\frac {E}{\rho }}\int \limits _{A}^({\color {White}}.}}{yx}\,dA={\frac {E}{ \ rho }}J_{{xy}}=0

to znamená, že odstředivý moment setrvačnosti musí být nulový a osa musí být jednou z hlavních os řezu. $y$

Zakřivení osy nosníku tedy souvisí s ohybovým momentem výrazem:

{\frac {1}{\rho }}={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}

Rozložení napětí po výšce průřezu je vyjádřeno vzorcem:

\sigma ={\frac {M_{x}}{J_{x}}}y

Maximální napětí v řezu je vyjádřeno vzorcem:

\sigma _{{max}}={\frac {M_{x}}{J_{x}}}{\frac {h}{2}}={\frac {M_{x}}{W_{x} }}

kde je moment odporu průřezu proti ohybu, je výška průřezu nosníku. $W_{x}={\frac {J_{x}}{{\frac {h}{2}}}}$ $h$

Hodnoty a pro jednoduché řezy (kulaté, obdélníkové) se počítají analyticky. Pro kruhový průřez o průměru : $J_{x}$ $W_{x}$ $d$

$J_{x}={\frac {\pi d^{4}}{64}}$

$W_{x}={\frac {\pi d^{3}}{32}}$

Pro výšku a šířku obdélníkové sekce $h$ $b$

$J_{x}={\frac {bh^{3}}{12}}$

$W_{x}={\frac {bh^{2}}{6}}$

Pro složitější sekce (například kanál , I-beam ), které mají standardizované rozměry, jsou tyto hodnoty uvedeny v referenční literatuře.

Ohybový moment v řezu lze získat řezovou metodou (pokud je nosník staticky určitý) nebo silově/posuvnou metodou.

Diferenciální rovnice rovnováhy. Definice posunů

Hlavní posuny, ke kterým dochází při ohýbání, jsou vychýlení ve směru osy . Je nutné je přiřadit k ohybovému momentu v řezu. Zapišme si přesný vztah spojující průhyby a zakřivení zakřivené osy: $proti$ $y$

{\frac {1}{\rho }}={\frac {v''}{(1+v'^{2})^{{{\frac {3}{2}}}}}}

Protože se předpokládá, že výchylky a úhly rotace jsou malé, hodnota

v'^{2}=\left({\mathrm {tg}}\,(\theta )\right)^{2}\cca \theta ^{2}

je malý. Tudíž,

{\frac {1}{\rho }}\cca v''

Prostředek,

v''={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}

Napišme rovnici rovnováhy pro řez ve směru osy : $y$

Q_{y}+qdz-Q_{y}-dQ_{y}=0\Rrightarrow {\frac {dQ}{dz}}=q

Napíšeme rovnici pro rovnováhu momentů kolem osy : $X$

M_{x}+Q\,dz+q\,dz{\frac {\,dz}{2}}-M_{x}-\,dM_{x}=0

Množství má 2. řádu drobnosti a lze jej vyřadit. Tudíž, $q\,dz{\frac {\,dz}{2))$

{\frac {\,dM_{x}}{\,dz}}=Q_{y}

Existují tedy 3 diferenciální rovnice. K nim je přidána rovnice pro posuny:

{\frac {\,dv}{\,dz))={\mathrm {tg))\,\theta \approx \theta

Ve formě vektorové matice je systém zapsán následovně:

{\frac {\,d\overrightarrow {Z}}{\,dz}}+A\overrightarrow {Z}=\overrightarrow {b}

kde

A={\begin{Bmatrix}0&0&0&0\\-1&0&0&0\\0&-\displaystyle {\frac {1}{EJ_{x}(z)))&0&0\\0&0&-1&0\end{Bmatrix))

Vektor stavu systému:

\overrightarrow {Z}=(Q,M,\theta ,v)^{T}

Vektor vnějšího zatížení:

\overrightarrow {b}=(q,0,0,0)^{T}

Tuto diferenciální rovnici lze použít k výpočtu nosníků s více podpěrami s proměnným sekčním momentem setrvačnosti podél délky a zatížením rozloženým složitým způsobem. Pro výpočet jednoduchých nosníků se používají zjednodušené metody. V odolnosti materiálů při výpočtu staticky určitých nosníků se ohybový moment zjišťuje řezovou metodou. Rovnice

v''={\frac {M_{x}}{EJ_{x}}}

integrované dvakrát:

v'=\theta (z)=\int {\frac {M_{x}(z)}{EJ_{x}}}\,dz+C_{1}

v(z)=\int \left(\int {\frac {M_{x}(z)}{EJ_{x}}}\,dz\right)\,dz+C_{1}z+C_{2 }

Konstanty se zjistí z okrajových podmínek kladených na nosník. Takže pro konzolový nosník zobrazený na obrázku: $C_{1}$ $C_{2}$

M_{x}(z)=-P(Lz)

\theta (z)=-PL{\frac {z}{EJ_{x}}}+P{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+C_{1}

v(z)=-PL{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+P{\frac {z^{3}}{6EJ_{x}}}+C_{1}z+ C_ {2}

Hraniční podmínky:

\theta (0)=0\Rrightarrow C_{1}=0

v(0)=0\Rrightarrow C_{2}=0

Takto,

\theta (z)=-PL{\frac {z}{EJ_{x}}}+P{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}

v(z)=-PL{\frac {z^{2}}{2EJ_{x}}}+P{\frac {z^{3}}{6EJ_{x}}}

Timošenkova teorie ohýbání paprsku

Tato teorie je založena na stejných hypotézách jako klasická, ale Bernoulliho hypotéza je upravena: předpokládá se, že úseky, které byly ploché a kolmé k ose nosníku před deformací, zůstávají ploché, ale přestávají být kolmé ke zakřivené ose. Tato teorie tedy bere v úvahu smykové přetvoření a smyková napětí. Účtování smykových napětí je velmi důležité pro výpočet kompozitů a dřevěných dílů, protože k jejich destrukci může dojít v důsledku destrukce pojiva během smyku.

Hlavní závislosti:

M=EJ{\frac {\,d\theta }{\,dz))

Q={\frac {GF}{\alpha }}\left(\theta -{\frac {\,dv}{\,dz}}\right)

kde je smykový modul materiálu nosníku, je plocha průřezu, je součinitel, který zohledňuje nerovnoměrné rozložení smykových napětí po průřezu a závisí na jeho tvaru. Hodnota $G$ $F$ $\alpha$

\gamma =\theta -{\frac {\,dv}{\,dz))

je úhel střihu.

Ohýbání nosníků na pružném základu

Toto schéma návrhu simuluje železniční koleje a také lodě (v prvním přiblížení).

Elastická základna je považována za soubor vzájemně nespojených pružin.

Nejjednodušší metoda výpočtu je založena na Winklerově hypotéze : reakce pružného základu je úměrná průhybu v bodě a směřuje k němu:

$p=-k\cdot v$

kde je průhyb; $proti$

$p$ - reakce (na jednotku délky paprsku);

$k$ - koeficient úměrnosti (nazývaný koeficient lůžka ).

V tomto případě je základna považována za oboustrannou, to znamená, že k reakci dochází jak při zatlačení paprsku do základny, tak při jeho oddělení od základny. Bernoulliho domněnka platí.

Diferenciální rovnice pro ohyb nosníku na pružném základu má tvar:

${\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\left(EJ_{x}(z){\frac {d^{2}v}{dz^{2}}} \right)+k(z)\cdot v=q(z)$

kde je průhyb; $v(z)$

$EJ_{x}(z)$ - tuhost v ohybu (která může být po délce variabilní);

$k(z)$ - koeficient lože proměnný po délce;

$q(z)$ - rozložené zatížení nosníku.

Při konstantní tuhosti a koeficientu lože lze rovnici zapsat jako:

$EJ_{x}{\frac {d^{4}v}{dz^{4}}}+k\cdot v=q(z)$

nebo

${\frac {d^{4}v}{dz^{4}}}+4m^{4}\cdot v=q(z)$

kde je uvedeno

${\displaystyle 4m^{4}={\frac {k}{EJ_{x))))$

Ohýbání trámu velkého zakřivení

U nosníků, jejichž poloměr zakřivení osy je úměrný výšce průřezu , tj. $\rho _{0}$ $h$

${\frac {h}{\rho _{0}}}>0,2$

rozložení napětí po výšce se odchyluje od lineární a neutrální čára se neshoduje s osou řezu (prochází těžištěm řezu). Takové schéma výpočtu se používá například pro výpočet řetězových článků a jeřábových háků .

Vzorec pro rozložení napětí je:

$\sigma ={\frac {M}{F\cdot e}}\cdot {\frac {y}{R+y}}$

kde je ohybový moment v řezu; $M$

$R$ je poloměr neutrální čáry řezu;

$F$ - plocha průřezu;

$e=R_{0}-R$ - excentricita ;

$y$ - souřadnice podél výšky sekce , počítáno od neutrální čáry.

Poloměr neutrální čáry je určen vzorcem:

$R=\int {\frac {\,dF}{u}}=\int \limits _{R_{1}}^{R_{2}}{\frac {b(u)\,du} {u}}$

Integrál se přebírá přes plochu průřezu, souřadnice se měří od středu křivosti. Platí také přibližné vzorce: $u$

$e={\frac {J_{x}}{R_{0}\cdot F}}$

$r_{0}=R_{0}-{\frac {J_{x}}{R_{0}\cdot F}}$

Pro běžně používané průřezy jsou k dispozici analytické vzorce. Pro obdélníkový průřez s výškou : $h$

$R={\frac {h}{\ln \displaystyle {\frac {R_{0}+{\frac {h}{2))}{R_{0}-{\frac {h}{2 )))))))={\frac {h}{\ln \displaystyle {\frac {R_{2}}{R_{1}}}}}$

kde jsou poloměry zakřivení vnitřního a vnějšího povrchu paprsku. $R_{1},R_{2}$

Pro kulatou část:

$R={\frac {R_{0}+{\sqrt {R_{0}^{2}-r^{2)))){2))$

kde je poloměr sekce. $r$

Kontrola síly paprsku

Ve většině případů je pevnost nosníku určena maximálními povolenými napětími:

{\displaystyle \sigma _{max}<{\frac {\sigma _{T}}{n_{T))))

kde je mez kluzu materiálu nosníku, je koeficient bezpečnosti kluzu. Pro křehké materiály: $\sigma _{T}$ $n_{T}$

{\displaystyle \sigma _{max}<{\frac {\sigma _{b}}{n_{b))))

kde je pevnost v tahu materiálu nosníku, je bezpečnostní faktor. $\sigma _{b}$ $n_{b}$

V případě plastových materiálů mohou tyto vzorce výrazně podhodnotit hodnotu zatížení, při kterém nosník ztrácí svou únosnost. Ve skutečnosti dochází ke ztrátě únosnosti pouze tehdy, pokud v některém úseku přejde celý materiál do plastického stavu. Pak může docházet k nepřípustným posunům v profilu (vzniká tzv. plastový závěs ). Vezmeme-li Prandtlův diagram jako diagram tah-tlak , pak mezní ohybový moment pro obdélníkovou tyč o šířce a výšce je vyjádřen vzorcem: $M_{{pr}}$ $b$ $h$

M_{{pr}}={\frac {1}{4}}bh^{2}\sigma _{T}

Dynamické zatížení nosníků

Přirozené kmitání

Uvažujme nosník s hustotou materiálu , plochou průřezu a ohybovou tuhostí . Rovnice vlastních kmitů má tvar: $\rho$ $A$ $EJ$

${\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\left(EJ{\frac {\partial ^{2}x}{\partial z^{2}}} \right)+m_{0}{\frac {\částečné ^{2}x}{\částečné t^{2))}=0$

kde je příčné posunutí, je hmotnost na jednotku délky tyče. Řešení se hledá ve tvaru: $x(z,t)$ $m_{0}=\rho A$

$x(z,t)=u(z)\cos(pt+\phi )$

Dosazením dostaneme obyčejnou diferenciální rovnici :

${\frac {d^{2}}{dz^{2}}}\left(EJ{\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}\right)-m_{ 0}p^{2}u=0$

Pro nosník konstantního průřezu se převede do tvaru:

${\frac {d^{4}u}{dz^{4}}}-\alpha ^{4}u=0$

kde

$\alpha ^{4}={\frac {p^{2}m_{0}}{EJ}}$

Je vhodné prezentovat řešení pomocí Krylovových funkcí :

$u=\sum _{i=1}^{4}C_{i}K_{i}(\alpha z)$

kde jsou Krylovovy funkce:

$K_{1}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operatorname {ch} \alpha z+\cos \alpha z)$

$K_{2}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operatorname {sh} \alpha z+\sin \alpha z)$

$K_{3}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operatorname {ch} \alpha z-\cos \alpha z)$

$K_{4}(\alpha z)={\frac {1}{2))(\operatorname {sh} \alpha z-\sin \alpha z)$

a jsou trvalé. $C_{i}$

Krylovovy funkce jsou spojeny závislostmi:

${\frac {d}{dz}}K_{1}(\alpha z)=\alpha K_{4}(\alpha z)$

${\frac {d}{dz}}K_{2}(\alpha z)=\alpha K_{1}(\alpha z)$

${\frac {d}{dz}}K_{3}(\alpha z)=\alpha K_{2}(\alpha z)$

${\frac {d}{dz}}K_{4}(\alpha z)=\alpha K_{3}(\alpha z)$

Tyto závislosti značně zjednodušují zápis okrajových podmínek pro nosníky:

$C_{1}=u_{z=0};C_{2}={\frac {1}{\alpha }}\left({\frac {du}{dz}}\right)_{z =0};C_{3}={\frac {1}{EJ\alpha ^{2}}}M_{z=0};C_{4}={\frac {1}{EJ\alpha ^{3 }}}Q_{z=0}$

Na každém konci nosníku jsou zadány dvě okrajové podmínky.

Rovnice přirozených vibrací má nekonečně mnoho řešení. Prakticky přitom zaujme zpravidla jen několik prvních z nich, odpovídajících nejnižším vlastním frekvencím.

Obecný vzorec pro vlastní frekvenci je:

$p_{k}=\lambda _{k}^{2}{\sqrt {\frac {EJ}{m_{0}l^{4))))$

Pro jednopolové nosníky:

Kotvení		$\lambda_k$
Levý konec	Pravý konec	$\lambda_k$
ukončení	ukončení	$\lambda _{1}=4,73;$ $\lambda _{2}=7,853;$
Volný, uvolnit	Volný, uvolnit	$\lambda _{1}=0;$ $\lambda _{2}=0;$ pro k>2 $\lambda _{k}={\frac {2k+1}{2}}\pi ;$
ukončení	Kloubové	$\lambda _{1}=3,927;$ $\lambda _{2}=7 069;$ pro k>2 $\lambda _{k}={\frac {4k+1}{4}}\pi ;$
Kloubové	Kloubové	$\lambda _{k}=k\pi$
ukončení	Volný, uvolnit	$\lambda _{1}=1,875;$ $\lambda _{2}=4,694;$ pro k>2 $\lambda _{k}={\frac {2k-1}{2}}\pi ;$

Nucené vibrace

Ohýbací skořepiny

Viz také

Ohybové prodloužení

Literatura

Biderman VL Teorie mechanických kmitů: Učebnice pro střední školy. - M .: Vyšší. Škola, 1980. - 408 s.
Feodosiev V.I. Odolnost materiálů. - M .: nakladatelství MSTU im. N. E. Bauman, 1999

Odkazy

Návrhová data pro standardní nosníky konstantního průřezu