Invariantní (matematika)

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 13. května 2022; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Invariant je vlastnost určité třídy ( množiny ) matematických objektů , která zůstává při určitém typu transformace nezměněna .

Definice

Dovolit být množina a být množina zobrazení od do . Mapování z množiny na množinu se nazývá invariant pro jestliže identita platí pro any a . $A$ $G$ $A$ $B$ $F$ $A$ $B$ $G$ $v A$ $g\in G$ $f(a)=f(g(a))$

Koncept invariantu je jedním z nejdůležitějších v matematice , protože studium invariantu přímo souvisí s problémy klasifikace objektů toho či onoho typu. V podstatě je cílem každé matematické klasifikace sestavit nějaký ucelený systém invariantů (pokud možno co nejjednodušší), tedy takový systém, který oddělí libovolné dva neekvivalentní objekty z uvažované množiny [1] .

Invarianty se používají v různých oblastech matematiky, jako je geometrie , topologie a algebra . Objev invariantů je důležitým krokem v procesu klasifikace matematických objektů.

Příklady

Plocha trojúhelníku je invariantní pod izometriemi euklidovského prostoru .
Mohutnost množiny je pod bijekcemi invariantní .
Determinant , trace , vlastní vektory a vlastní hodnoty matice jsou při výběru báze invariantní.
V teorii diferenciálních rovnic je invariant funkcí , která závisí na požadované funkci, jejíž hodnota je konstantní ( první integrál ).
Lebesgueova míra je při směnách invariantní.
Maticové singulární hodnoty jsou při ortogonálních transformacích invariantní .
Teorie invariantů se zabývá hledáním invariantních polynomů (nebo jednoduše "invariantů" ) a studiem jimi tvořené algebry pro případ lineárních reprezentací algebraických grup, jakož i působením algebraických grup na algebraické variety.
Topologický invariant - viz glosář obecných topologických termínů .
Invariantní problémy představují velkou třídu problémů v matematice olympiády .
Hadwigerovo číslo a chromatické číslo jsou invarianty grafu při přečíslování jeho vrcholů.
Invariantem eliptické křivky je číslo . Viz GOST 34.10-2018 . $J(E)=1728{\frac {4a^{3}}{4a^{3}+27b^{2}}}{\pmod {p}}$

Poznámky

↑ V. L. Popov . Invariant // Matematická encyklopedie. - M . : Sovětská encyklopedie, 1979. - T. 2 . - S. 526 .

Literatura

Dieudonné J. , Carroll J., Mumford D. Geometrická invariantní teorie. — M .: Mir, 1974. — 278 s.