Fredholmův integrální operátor

Fredholmův integrální operátor je zcela spojitý lineární integrální operátor formuláře

(Af)(x)=\int _{G}K(x,t)f(t)\,dt,

mapování jednoho funkčního prostoru na druhý. Zde je oblast v euklidovském prostoru , je funkce definovaná na kartézském čtverci , nazývaná jádro integrálního operátoru [1] . Pro úplnou kontinuitu operátora jsou na jádro uložena další omezení . Nejčastěji se uvažují kontinuální jádra [2] , -kernels [3] [4] a také polární jádra [2] [5] . Fredholmův integrální operátor a jeho vlastnosti se používají při řešení Fredholmovy integrální rovnice . $G$ $\mathbb {R} ^{n}$ $K(x,t)$ $G\times G$ $A$ $K(x, y)$ $L_{2}$

Vlastnosti

Linearita

Fredholmův integrální operátor je lineární , to znamená . $A(\alpha f+\beta g)=\alpha Af+\beta Ag$

Spojitost

Integrální operátor se spojitým na [6] kernel mapuje na (a následně na a na ) a je omezený (spojitý) a ${\bar {G}}\times {\bar {G}}$ $K(x, y)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $C(\bar G)$ $C(\bar G)$ $L_2(G)$ $L_2(G)$

\|Af\|_{C}\leq M{\sqrt {V}}\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),

\|Af\|_{C}\leq MV\|f\|_{C},\quad f\in C({\bar {G))),

\|Af\|_{L_{2}}\leq MV\|f\|_{L_{2}},\quad f\in L_{2}(G),

kde

M=\max \limits _{x\in {\bar {G)),\,y\in {\bar {G))}|K(x,y)|,\quad V=\int _{G}dy.

[7] .

Integrální operátor s -kernel: $L_{2}$

\int _{G}\int _{G}|K(x,y)|^{2}dx\,dy\leq N^{2}<\infty

překládá do , je spojitý a splňuje odhad: $L_2(G)$ $L_2(G)$

\|Af\|_{L_{2}}\leq N\|f\|_{L_{2}}.

[1] [8]

Existují podmínky spojitosti pro integrální operátory od do . [9] $L_{p}$ ${\displaystyle L_{q))$

Docela kontinuita

Integrální operátor se spojitým jádrem je zcela spojitý od do , to znamená , že přebírá jakoukoli množinu vázanou na množinu, která je předkompaktní v [10] . Zcela spojité operátory jsou pozoruhodné tím, že pro ně platí Fredholmova alternativa . Integrální operátor se spojitým jádrem je limitem posloupnosti konečně-dimenzionálních operátorů s degenerovanými jádry. Podobná tvrzení platí pro integrální operátor s -kernel. [jedenáct] $K(x, y)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $L_2(G)$ $C(\bar G)$ $L_{2}$

Existují také slabší dostatečné podmínky pro úplnou návaznost (kompaktnost) integrálního operátoru od do . [12] $L_{p}$ ${\displaystyle L_{q))$

Přídavný operátor

Adjoint operátor k operátoru s -kernel v Hilbertově prostoru má tvar $A$ $L_{2}$ $L_2(G)$

(A^{*}f)(x)=\int _{G}{\overline {K(y,x)))f(y)\,dy.

Jestliže , pak je Fredholmův integrální operátor samoadjungovaný [ 1] [11] $K(x,y)={\overline {K(y,x)))$ $A$

Inverzní operátor

Pro dostatečně malé hodnoty má operátor (kde je operátor identity ) inverzní tvar , kde je Fredholmův integrální operátor s jádrem , resolvent jádra [13] . $|\lambda|$ $I-\lambda A$ $já$ $I+\lambda R$ $R$ $R(x, y, \lambda)$ $K(x, y)$

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 3 Khvedelidze, 1979 .
↑ 1 2 Vladimirov, 1981 , kapitola IV.
↑ Tricomi, 1960 .
↑ Kolmogorov, Fomin, 1976 , kapitola IX.
↑ Manžirov, Polyanin, 2000 .
↑ - uzavření oblasti $\bar G$ $G$
↑ Vladimirov, 1981 , s. 272.
↑ Tricomi, 1960 , § 1.6.
↑ Manzhirov, Polyanin, 2000 , § 9.3-1.
↑ Vladimirov, 1981 , § 19.
↑ 1 2 Kolmogorov, Fomin, 1976 , kapitola IX, § 2.
↑ Manzhirov, Polyanin, 2000 , § 9.3-2.
↑ Vladimirov, 1981 , § 17.

Literatura

Khvedelidze B. V. . Integrální operátor // Matematická encyklopedie : [v 5 svazcích] / Kap. vyd. I. M. Vinogradov . - M . : Sovětská encyklopedie, 1979. - T. 2: D - Koo. - 1104 stb. : nemocný. — 150 000 výtisků.
Vladimirov V.S. Rovnice matematické fyziky. 4. vyd. - M .: Nauka, Ch. vyd. Fyzikální matematika literatura, 1981. - 512 s.
Tricomi F. Integrální rovnice. Za. z angličtiny .. - M . : Izd-vo inostr. literatura, 1960.
Manzhirov A. V., Polyanin A. D. . Příručka integrálních rovnic: Metody řešení. - M .: Factorial Press, 2000. - 384 s. - ISBN 5-88688-046-1 .
Kolmogorov A. N. , Fomin S. V. Základy teorie funkcí a funkcionální analýzy. — Věda, Ch. vyd. Fyzikální matematika litrů. - M. , 1976.