Interpolační vzorec Brahmagupty je interpolační vzorec druhého polynomiálního řádu, který našel indický matematik a astronom Brahmagupta (598-668) na začátku 7. století našeho letopočtu. Poetický popis tohoto vzorce v sanskrtu se nachází v dodatečné části Khandakhodyaka, dílo dokončené Brahmaguptou v roce 665 [1] . Stejné dvojverší se nachází v jeho dřívějším díle Dhyana-graha-adhikara, jehož přesné datum nebylo stanoveno. Vnitřní provázanost děl však naznačuje, že vznikla dříve než hlavní dílo vědce, dokončené v roce 628, „ Brahma-sphuta-siddhanta “, takže lze připsat vytvoření interpolačního vzorce druhého řádu. do první čtvrtiny 7. století [1] . Brahmagupta byl první, kdo našel a použil vzorec konečných diferencí druhého řádu v historii matematiky [2] [3] .
Brahmaguptův vzorec se shoduje s Newtonovým interpolačním vzorcem druhého řádu , který byl nalezen (znovu objeven) po více než tisíci letech.
Jako astronom se Brahmagupta zajímal o odvození přesných hodnot pro sinus z malého počtu známých tabulkových hodnot pro tuto funkci. Byl tedy postaven před úkol najít hodnotu podle hodnot funkce dostupné v tabulce:
… | … | |||||||
… | … |
Za předpokladu, že hodnoty funkce jsou počítány v bodech s konstantním krokem , ( pro všechny ), Aryabhata navrhl použít pro výpočty (tabulkové) první konečné rozdíly:
Matematici před Brahmaguptou používali zřejmý lineární interpolační vzorec
,kde .
Brahmagupta nahradil tento vzorec obloukovou funkcí konečných rozdílů, což umožňuje získat přesnější hodnoty interpolované funkce v pořadí.
V terminologii Brahmagupty se rozdíl nazývá minulý segment (गत काण्ड), užitečný segment se nazývá (भोग्य काण्ड). Délka segmentu k bodu interpolace v minutách se nazývá pahýl (विकल). Nový výraz, který má být nahrazen, se nazývá správný užitečný segment (स्फुट भोग्य काण्ड). Výpočet správného užitečného segmentu je popsán v dvojverší [4] [1] :
Podle komentáře Bhuttopaly ( X století ) jsou verše přeloženy takto [ 1 ] [ 5 ] : Pokud více, odečtěte. Získáte správný užitečný rozdíl [6] .
900 minut (15 stupňů) je interval mezi argumenty tabulkových hodnot sinusu, které používá Brahmagupta.
V moderní notaci je výpočetní algoritmus Brahmagupta vyjádřen pomocí vzorců:
Toto je Newtonův interpolační vzorec druhého řádu [7] [8] .
Není známo, jak Brahmagupta získal tento vzorec [1] . V naší době se takové vzorce dokazují pomocí expanze funkcí v právu na růst rovnosti v Taylorově řadě v bodě . Vzorec však lze dokázat i elementárními metodami: Brahmaguptův vzorec po nahrazení nastaví parabolu procházející třemi body . K odvození tohoto vzorce stačí najít koeficienty této paraboly řešením soustavy tří lineárních rovnic definovaných těmito body.
Počítačový výpočet ukazuje, že s tabulkou 7 hodnot sinusu v uzlech s krokem 15 stupňů mohl Brahmagupta vypočítat tuto funkci s maximální chybou ne větší než 0,0012 a průměrnou chybou ne větší než 0,00042.