Weirova kanonická podoba

Kanonická Weirova forma ( Weirova forma , Weirova matice , modifikovaná Jordanova forma , přeskupená Jordanova forma , druhá Jordanova forma , H-forma [1] ) je čtvercová matice splňující určité podmínky, kterou zavedl český matematik Eduard Weyr ( česky Eduard Weyr ) v roce 1885 [2] [3] [4] .

Forma nebyla široce používána v matematickém výzkumu, protože místo toho byla používána svým účelem, ale odlišná od ní, kanonická forma Jordan [4] , kvůli nízké popularitě formy byla několikrát znovu objevena [5]. . Forma získala slávu na konci 90. let a na počátku 20. století díky jejímu použití v bioinformatice pro fylogenetické invarianty.

Definice

Jezová elementární matice

Elementární Weirova matice s vlastním číslem je matice následujícího tvaru: $\lambda$ $n\krát n$ $W$

Nechť je dán oddíl

n_{1}+n_{2}+\cdots +n_{r}=n

čísla , kde takové, že když je považováno za blokovou -matici , kde -tý blok je matice a jsou splněny následující tři podmínky:

n

n_{1}\geqslant n_{2}\geqslant \cdots \geqslant n_{r}\geqslant 1

W

r\times r

(W_{ij})

(i, j)

{\displaystyle W_{ij))

{\displaystyle n_{i}\times n_{j))

Bloky hlavní diagonály jsou - skalární matice , kde . ${\displaystyle W_{ii))$ ${\displaystyle n_{i}\times n_{i))$ $\lambda I$ $i=1,\ldots ,r$
Bloky první nadúhlopříčky jsou celosloupcové řadové matice , mající řádkovou formu (tj. matici identity následovanou nulovými řádky), kde . $W_{i,i+1}$ $n_{i}\times n_{i+1}$ $i=1,\ldots ,r-1$
Všechny ostatní bloky matice jsou nulové (tj . kde ). $W$ $W_{ij}=0$ $j\neq i,i+1$

V tomto případě se říká, že má strukturu jezu . $W$ $(n_{1},n_{2},\ldots ,n_{r})$

Příklad elementární Weirovy matice:

W={}

{}={\begin{bmatrix}W_{11}&W_{12}&&\\&W_{22}&W_{23}&\\&&W_{33}&W_{34}\\&&&W_{44}\\ \end{bmatrix}}.

V této matici a . Matice má tedy Weirovu strukturu . Taky $n=10$ $n_{1}=4,\ n_{2}=2,\ n_{3}=2,\ n_{4}=1$ $W$ $(4,2,2,1)$

W_{11}={\begin{bmatrix}\lambda &0&0&0\\0&\lambda &0&0\\0&0&\lambda &0\\0&0&0&\lambda \\\end{bmatrix))=\lambda I_{4}, \quad W_{22}={\begin{bmatrix}\lambda &0\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{2},\quad W_{33}={\begin{bmatrix} \lambda &0\\0&\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda I_{2},\quad W_{44}={\begin{bmatrix}\lambda \\\end{bmatrix}}=\lambda já_{1}

W_{12}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\0&0\\0&0\\\end{bmatrix)),\quad W_{23}={\begin{bmatrix}1&0\\0&1 \\\end{bmatrix}},\quad W_{34}={\begin{bmatrix}1\\0\\\end{bmatrix}}.

Matice generála Weira

Nechť je čtvercová matice a různé vlastní hodnoty matice . Říká se, že je to Weirova forma (nebo Weirova matice), pokud má následující formu: $W$ ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{k))$ $W$ $W$ $W$

W={\begin{bmatrix}W_{1}&&&\\&W_{2}&&\\&&\ddots &\\&&&W_{k}\\\end{bmatrix)),

kde je elementární Weirova forma s vlastní hodnotou , kde . $W_i$ $\lambda _{i}$ $i=1,\ldots ,k$

Aplikace formuláře Weyr

Některé pozoruhodné aplikace formy Weir [4] jsou:

Weirova forma může být použita pro zjednodušení důkazu Gerstenhaberovy věty, která říká, že subalgebra generovaná dvěma komutujícími maticemi má rozměr nanejvýš . $n\krát n$ $n$
O množině konečných matic se říká, že je přibližně společně diagonalizovatelná, pokud je lze narušit na společně diagonalizovatelné matice. Weirova forma se používá k prokázání přibližné společné diagonalizace různých tříd matic. Vlastnost přibližné kloubové diagonalizovatelnosti se využívá při studiu fylogenetických invariantů v bioinformatice .
Weirův tvar lze použít pro zjednodušení důkazů neredukovatelnosti určité řady všech možných k -tic z komutačních matic.

Poznámky

↑ Moderní terminologie vznikla v roce 1999 po publikaci: Shapiro, H. The Weyr character (anglicky) // The American Mathematical Monthly : journal. - 1999. - Sv. 106 . - S. 919-929 .
↑ Edward Weyr. Répartition des matrices en espèces et creation de toutes les espèces (francouzsky) // Comptes Rendus, Paříž: časopis. - 1985. - Sv. 100 _ - S. 966-969 .
↑ Edward Weyr. Zur Theorie der bilinearen Formen (neopr.) // Monatsh. Matematika. fyzikální. - 1980. - T. 1 . - S. 163-236 .
↑ 1 2 3 Kevin C. Meara, John Clark, Charles I. Vinsonhaler. Pokročilá témata lineární algebry : Propletení maticových problémů pomocí Weyrovy formy . — Oxford University Press , 2011.
↑ Kevin C. Meara, John Clark, Charles I. Vinsonhaler. Pokročilá témata lineární algebry : Propletení maticových problémů pomocí Weyrovy formy . - Oxford University Press , 2011. - S. 44 , 81-82.