Třída Pontryagin

Třída Pontryagin je charakteristická třída definovaná pro skutečné vektorové svazky . Tento koncept představil v roce 1947 sovětský matematik L. S. Pontryagin .

Pro vektorový svazek se základem jsou Pontryaginovy třídy označeny symbolem a předpokládá se, že se rovnají $\xi$ $B$ $p_{i}(\xi )\in H^{4i}(B)$

p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )

kde je komplexifikace svazku a a jsou třídy Chern . $\xi \otimes \mathbb {C}$ $\xi$ $c_{i}$

Kompletní Pontryaginova třída je nehomogenní charakteristická třída

p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\tečky

Pokud je hladký rozdělovač a svazek není výslovně specifikován, pak se předpokládá, že existuje svazek tečny . $B$ $\xi$ $\xi$ $B$

Vlastnosti

Hirzebruch L-třída a -třída jsou vyjádřeny v termínech Pontryaginových tříd. ${\klobouk {A}}$
Jsou-li , dva skutečné vektorové svazky nad společnou bází, pak třída cohomology má pořadí nejvýše dva. $\xi$ $\eta$
$p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )$
- Zejména pokud koeficientový prstenec obsahuje 1/2, pak platí rovnost .
  $p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )p(\eta )$
Pontryaginovy třídy s racionálními koeficienty dvou homeomorfních odrůd se shodují (teorém S. P. Novikova )
- Existuje příklad ukazující, že Pontrjaginovy celočíselné třídy nejsou topologické invarianty.
Pro 2k - dimenzionální svazek , kde označuje Eulerovu třídu . $\xi$
$p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},$
$e(\xi )$

Pontryagin L. S. „Mat. Sb., 1947, roč. 21, str. 233-84;
Novikov S. P. „Zpráva. Akademie věd SSSR, 1965, v. 163, str. 298-300;
Milnor J. , Stashef J. Charakteristické třídy = Charakteristické třídy. — M .: Mir , 1979. — 371 s. - 6500 výtisků.