Třída Pontryagin
Třída Pontryagin je charakteristická třída definovaná pro skutečné vektorové svazky . Tento koncept představil v roce 1947 sovětský matematik L. S. Pontryagin .
Pro vektorový svazek se základem jsou Pontryaginovy třídy označeny symbolem a předpokládá se, že se rovnají
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![{\displaystyle p_{i}(\xi )\in H^{4i}(B)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86daa5c1c27e97822f55afc03b400b0faa49d5ab)
![{\displaystyle p_{i}(\xi )=(-1)^{i}c_{2i}(\xi \otimes \mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bdbd7022782efe3efcb2d185f1729abf4a31dbba)
,
kde je komplexifikace svazku a a jsou třídy Chern .
![{\displaystyle \xi \otimes \mathbb {C} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/815668bf19857f0ca128a9470709bea4718c65bc)
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![c_{i}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01acb7953ba52c2aa44264b5d0f8fd223aa178a2)
Kompletní Pontryaginova třída je nehomogenní charakteristická třída
![{\displaystyle p(\xi )=1+p_{1}(\xi )+p_{2}(\xi )+\tečky }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/817bd5bb5e49355d7696be6cc609cb74aecc9d22)
.
Pokud je hladký rozdělovač a svazek není výslovně specifikován, pak se předpokládá, že existuje svazek tečny .
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![B](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47136aad860d145f75f3eed3022df827cee94d7a)
Vlastnosti
- Hirzebruch L-třída a -třída jsou vyjádřeny v termínech Pontryaginových tříd.
![{\klobouk {A}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f595a6c73d1183d6a1b2ac21fe47ac28c1483821)
- Jsou-li , dva skutečné vektorové svazky nad společnou bází, pak třída cohomology má pořadí nejvýše dva.
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![\eta](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e4d701857cf5fbec133eebaf94deadf722537f64)
![{\displaystyle p(\xi \oplus \eta )-p(\xi )p(\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42a935ad8e67ed106dbf4b2c583780c72369c0ab)
- Zejména pokud koeficientový prstenec obsahuje 1/2, pak platí rovnost .
![{\displaystyle p(\xi \oplus \eta )=p(\xi )p(\eta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f0a85ee1206e950bd6913d4677bf245ee840b11)
- Pontryaginovy třídy s racionálními koeficienty dvou homeomorfních odrůd se shodují (teorém S. P. Novikova )
- Existuje příklad ukazující, že Pontrjaginovy celočíselné třídy nejsou topologické invarianty.
- Pro 2k - dimenzionální svazek , kde označuje Eulerovu třídu .
![\xi](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
![{\displaystyle p_{k}(\xi )=e(\xi )^{2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d3fe18167a8775581c5b94815f6842f9eb299b1b)
![{\displaystyle e(\xi )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4eb5b3ea959fd349c14d22bf15d2eed697110827)
Literatura
- Pontryagin L. S. „Mat. Sb., 1947, roč. 21, str. 233-84;
- Novikov S. P. „Zpráva. Akademie věd SSSR, 1965, v. 163, str. 298-300;
- Milnor J. , Stashef J. Charakteristické třídy = Charakteristické třídy. — M .: Mir , 1979. — 371 s. - 6500 výtisků.