De Rhamova kohomologie

De Rham cohomology je kohomologická teorie založená na diferenciálních formách a aplikovaná v teoriích hladkých a algebraických variet .

Pojmenován po švýcarském matematikovi de Rhamovi . -dimenzionální de Rhamova kohomologická skupina manifoldu je obvykle označována . $k$ $M$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{k}(M)$

Hladké rozdělovače

Definice

Přes cochainový komplex

De Rhamův komplex je cochainový komplex vnějších diferenciálních forem na hladkém potrubí s vnějším diferenciálem jako diferenciálem. $M$ $d\,^{k}$

0\to \Omega ^{0}(M){\stackrel {d^{0}}{\to }}\Omega ^{1}(M){\stackrel {d^{1}}{ \to }}\Omega ^{2}(M){\stackrel {d^{2}}{\to }}\Omega ^{3}(M)\to \ldots

Zde je prostor hladkých funkcí na , je prostor 1-formy , to znamená, je prostor -formy. Všimněte si toho . -dimenzionální kohomologická skupina tohoto cochainového komplexu je mírou jeho přesnosti v -tém členu a je definována jako $\Omega ^{0}(M)$ $M$ $\Omega ^{1}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$ $k$ $d^{k+1}d^{k}=0$ $k$ $H^{k}$ $k$

H^{k}(\Omega ^{\bullet },\;d^{\bullet })=\jméno operátora {Ker} d^{k}/\jméno operátora {Im} d^{k-1} .

Formulář se v tomto případě nazývá uzavřený if . $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ $d^{k}\alpha =0$ ${\displaystyle \alpha \in \operatorname {Ker} d^{k))$
Forma se nazývá přesná , pokud pro některé platí, že je . $\alpha \in \Omega ^{k}(M)$ $\alpha =d^{k-1}\gamma$ ${\displaystyle \gamma \in \Omega ^{k-1))$ $\alpha \in \operatorname {Im} d^{k-1}$

Všimněte si, že každý přesný formulář je uzavřen.

Jako třída ekvivalence forem

Více geometricky je myšlenkou de Rham cohomologie klasifikovat uzavřené formy na mnohosti: dvě uzavřené formy a říká se , že jsou cohomologické , pokud se liší přesnou formou, tj. jejich rozdíl je přesná forma. Tato definice generuje vztah ekvivalence na množině uzavřených forem v . $\alpha$ $\beta$ $\Omega ^{k}(M)$ $\alpha -\beta =d\gama$ $\Omega ^{k}(M)$

Kohomologická třída formy je množina všech uzavřených forem, které se liší od přesné formy, tedy množiny forem formy . $[\alpha]$ $\alpha$ $\alpha$ $\alpha +d\gamma$

$k$ -dimenzionální de Rhamova kohomologická skupina je kvocientová skupina všech uzavřených forem v podskupině přesných forem. $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $\Omega ^{k}(M)$

Všimněte si, že pro rozdělovač s připojenými komponenty , $M$ $N$

H_{{\mathrm {dR}}}^{0}(M)\cong {\mathbf {R}}^{N}.

Formy stupně 0 jsou skutečně skalární funkce. Uzavřenost znamená, že funkce mají nulovou derivaci, to znamená, že jsou konstantní na každé připojené složce variety.

De Rhamův teorém

Stokesův teorém je výrazem duality mezi de Rhamovou kohomologií a homologií řetězcového komplexu . Klíčovým důsledkem věty je totiž to, že „ integrály uzavřené formy nad homologními řetězci jsou stejné“: if je uzavřená -forma a a jsou homologní -řetězce (tj. je to hranice -rozměrného řetězce ) , pak $\omega$ $k$ $M$ $N$ $k$ $MN$ $(k+1)$ $W$

\int \limits _{M}\omega =\int \limits _{N}\omega ,

protože jejich rozdíl je integrální

\int \limits _{{\partial W}}\omega =\int \limits _{W}\,d\omega =\int \limits _{W}0=0.

Párování diferenciálních forem a řetězců prostřednictvím integrace tedy definuje homomorfismus od de Rhamovy kohomologie k singulární cohomologické skupině . De Rhamův teorém , dokázaný Georgesem de Rhamem v roce 1931, uvádí, že na hladkých varietách je toto zobrazení izomorfismus : $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$

H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)\cong H^{k}(M;\;{\mathbf R}).

Vnější produkt propůjčuje přímému součtu skupin strukturu prstence . Podobná struktura v singulární kohomologii je dána -násobením . De Rhamův teorém také říká, že tyto dva cohomologické kruhy jsou izomorfní jako odstupňované kruhy . $H_{{\mathrm {dR}}}^{k}(M)$ $H^{k}(M;\;{\mathbf R})$ $\úsměv$

Algebraické variety

Definice

Zcela analogicky k hladkému případu je každá algebraická varieta nad polem spojena s komplexem pravidelných diferenciálních forem . $X$ $k$

De Rham cohomology skupiny palety se nazývají cohomology skupiny . $X$ $H_{{\mathrm {dR}}}^{p} (X/k)$

Speciální případy de Rhamovy kohomologie

Jestliže je hladká a úplná varieta a charakteristika je pole , pak de Rhamova kohomologie je Weilova kohomologie . $X$ ${\mathrm {char}}\,k=0$
Pokud je varieta hladká afinní varieta a pole je, pak platí následující analogie de Rhamovy věty : $X$ $k=\mathbb {C}$ $H_{{{\mathrm {dR}}}}^{p}(X/k)\cong H^{p}(X_{{an}},\;{\mathbb {C}}),$

kde je komplexní analytická varieta odpovídající algebraické variitě .

X_{{an}}

X

Například, jestliže je doplněk algebraické hyperplochy v , pak kohomologii lze vypočítat pomocí racionálních diferenciálních forem na s póly na této hyperploche. $X$ $P^{n}(\mathbb {C} )$ $H^{p}(X,\;\mathbb {C} )$ $P^{n}(\mathbb {C} )$

Relative de Rham cohomology

Pro jakýkoli morfismus lze definovat tzv. relativní de Rhamův komplex $f\dvojtečka X\to S$

\sum _{{p\leqslant 0}}\Gamma (\Omega _{{X/S}}^{p}),

což vede k relativní de Rhamově cohomologii . $H_{{\mathrm {dR}}}^{p} (X/S)$

Pokud je varietou spektrum prstence , a , pak se relativní de Rhamův komplex shoduje s . $X$ ${\mathrm {Spec}}\,A$ $S={\mathrm {Spec}}\,B$ $\Lambda \Omega _{{A/B}}^{1}$

Kohomologie komplexu snopů na se nazývá snopy relativní de Rham cohomologie . Pokud je správný morfismus, pak jsou tyto svazky koherentní na . ${\mathcal {H}}_{{\mathrm {dR}}}^{p}(X/S)$ $\sum _{{p\leqslant 0}}f_{*}\Omega _{{X/S}}^{p}$ $S$ $F$ $S$

Literatura

Bott, R., Tu, L. V. Diferenciální formy v algebraické topologii. — M .: Platon, 1997. — 336 s. - ISBN 5-80100-280-4 . .
Dubrovin B. A., Novikov S. P., Fomenko A. T. Moderní geometrie: metody teorie homologie. — M .: Nauka, 1984. — 343 s.
de Ram, J. Diferencovatelné variety = Varietes diferenciables. — M.: KomKniga, 2006. — 250 s. — ISBN 5-484-00341-5 . .