Rindlerovy souřadnice

V relativistické fyzice jsou Rindlerovy souřadnice souřadnicovým systémem , který představuje část plochého časoprostoru , také nazývaného Minkowského prostor . Rindlerovy souřadnice byly představeny Wolfgangem Rindlerem k popisu časoprostoru rovnoměrně zrychleného pozorovatele .

Vztah s kartézskými souřadnicemi

Pro získání Rindlerových souřadnic je přirozené začít od galileovských souřadnic

ds^{2}=-dT^{2}+dX^{2}+dY^{2}+dZ^{2},\;\;-\infty <T,\;X,\;Y,\ ;Z<\infty\;.

V oblasti , která se často nazývá Rindler Wedge , definujeme nové souřadnice pomocí následující transformace $0<X<\infty ,\;-X<T<X$

t=\,{\mathrm {arth}}\,{\frac {T}{X}},\quad x={\sqrt {X^{2}-T^{2}}},\quad y= Y,\quad z=Z.

Reverzní transformace bude

T=x\,{\mathrm {sh}}\,t,\quad X=x\,{\mathrm {ch}}\,t,\quad Y=y,\quad Z=z.

V Rindlerových souřadnicích jde lineární prvek Minkowského prostoru do

ds^{2}=-x^{2}\,dt^{2}+dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\quad 0<x<\infty ,\quad - \infty <t,\;y,\;z<\infty .

Rindlerovi pozorovatelé

V nových souřadnicích je přirozené zavést kovariantní tetradové pole

d\sigma ^{0}=-x\,dt,\quad d\sigma ^{1}=dx,\quad d\sigma ^{2}=dy,\quad d\sigma ^{3}=dz,

což odpovídá duálnímu poli tetradových kontravariantních vektorů

{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}\,\částečné _{t},\quad {\vec {e}}_{1}=\částečné _{x },\quad {\vec {e}}_{2}=\částečné _{y},\kvadratické {\vec {e}}_{3}=\částečné _{z}.

Tato pole popisují lokální Lorentzovy vztažné soustavy v tečném prostoru v každé události oblasti pokryté Rindlerovými souřadnicemi, tj. Rindlerovým klínem. Integrální křivky časově podobného jednotkového vektorového pole poskytují časovou shodu , sestávající ze světových linií rodiny pozorovatelů nazývaných Rindlerovi pozorovatelé . V Rindlerových souřadnicích jsou jejich světové linie reprezentovány vertikálními souřadnicovými liniemi . Pomocí transformací souřadnic uvedených výše je snadné ukázat, že v původních kartézských souřadnicích se tyto čáry mění ve větve hyperbol. ${\vec {e}}_{0}$ $x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}$

Stejně jako u jakékoli časové kongruence v Lorentzově varietě může být tato kongruence podrobena kinematickému rozkladu (viz Raychaudhuriho rovnice ). V uvažovaném případě jsou expanze a rotace kongruence Rindlerových pozorovatelů shodně rovné nule. Zmizení expanzního tenzoru znamená, že každý pozorovatel udržuje konstantní vzdálenost k nejbližším sousedům . Zmizení rotačního tenzoru zase znamená, že světové linie pozorovatelů se nekroutí jedna kolem druhé.

Vektor zrychlení každého pozorovatele je dán kovariantní derivací

\nabla _{({\vec {e}}_{0}}}{\vec {e}}_{0}={\frac {1}{x}}{\vec {e}}_{1 }

To znamená, že každý Rindlerův pozorovatel zrychluje ve směru , zažívá zrychlení konstantní velikosti , takže jejich světočáry jsou čáry hyperbolického pohybu , Lorentzovy analogy kružnic, to znamená čáry konstantního prvního zakřivení a nulové sekundy. $\částečné _{x}$

Kvůli nerotaci Rindlerových pozorovatelů je jejich kongruence také ortogonální , to znamená, že existuje rodina hyperploch v každém bodě, z nichž jsou vektory kongruence úměrné normálám těchto povrchů. Ortogonální časové řezy odpovídají ; korespondují s horizontálními polovičními nadrovinami v Rindlerových souřadnicích a šikmými polovičními nadrovinami v kartézských souřadnicích procházejícími skrz (viz obrázek výše). Vložením čárového prvku vidíme, že popisuje obvyklou euklidovskou geometrii . Prostorové souřadnice Rindlera tak mají velmi jednoduchou interpretaci, kompatibilní s tvrzením o vzájemné stacionárnosti Rindlerových pozorovatelů. K této vlastnosti „tuhosti“ se vrátíme později. $t=t_{0}$ $T=X=0$ $dt=0$ $d\sigma ^{2}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2},\;0<x<\infty ,\;-\infty <y,\;z<\infty$

"Paradoxní" vlastnost Rindlerových souřadnic

Všimněte si, že Rindlerovi pozorovatelé s menšími souřadnicemi zrychlují silněji ! To se může zdát divné, protože v newtonovské fyzice by pozorovatelé, kteří od sebe udržují konstantní vzdálenost, měli zažít stejné zrychlení. Ale v relativistické fyzice musí zadní konec "absolutně tuhé" tyče, urychlené ve směru jejího vlastního prodloužení aplikovanou silou, zrychlit o něco více než její přední konec. $X$

Tento jev je základem Bellova paradoxu . To je však prostě důsledek relativistické kinematiky. Jedním ze způsobů, jak to ukázat, je uvažovat velikost vektoru zrychlení jako zakřivení odpovídající světočáry. Ale světové linie pozorovatelů Rindlera jsou analogy rodiny soustředných kruhů v euklidovské rovině, takže máme co do činění s lorentzovskou analogií známého faktu: v rodině soustředných kruhů se vnitřní kruhy odchylují od přímky. na jednotku délky oblouku rychlejší než vnější .

Minkowski pozorovatelé

Rovněž stojí za to zavést alternativní referenční soustavu danou standardní volbou tetrád v Minkowského souřadnicích

{\vec {f}}_{0}=\částečný _{T},\čtverec {\vec {f}}_{1}=\částečný _{X},\čtvrťový {\vec {f}}_ {2}=\částečný _{Y},\čtverec {\vec {f}}_{3}=\částečný _{Z}.

Transformací těchto vektorových polí na Rindlerovy souřadnice získáme, že v Rindlerově klínu má tato referenční soustava tvar

\left\{{\begin{matrix}{\vec {f}}_{0}={\frac {{\mathrm {ch}}\,t}{x}}\,\částečné _{t}- {\mathrm {sh}}\,t\,\částečné _{x}\\{\vec {f}}_{1}=-{\frac {{\mathrm {sh}}\,t}{x }}\,\částečné _{t}+{\mathrm {ch}}\,t\,\částečné _{x}\\{\vec {f}}_{2}=\částečné _{y}, \quad {\vec {f}}_{3}=\částečné _{z}\end{matrix}}\vpravo.

Provedením kinematické expanze časové kongruence definované vektorovým polem samozřejmě získáme nulovou expanzi a rotaci a navíc absenci zrychlení . Jinými slovy, tato kongruence je geodetická ; odpovídající pozorovatelé jsou ve volném pádu . V původním kartézském souřadnicovém systému jsou tito pozorovatelé, nazývaní Minkowského pozorovatelé , v klidu. ${\vec {f}}_{0}$ $\nabla _{({\vec {f}}_{0}}}{\vec {f}}_{0}=0$

V Rindlerových souřadnicích jsou světové linie pozorovatelů Minkowského hyperbolické oblouky, které se k rovině souřadnic přibližují asymptoticky . Konkrétně v Rindlerových souřadnicích bude mít tvar světová linie pozorovatele Minkowského procházejícího událostí $x=0$ $t=t_{0},\;x=x_{0},\;y=y_{0},\;z=z_{0}$

t=\,{\mathrm {arth}}\,{\frac {s}{x_{0}}},\quad x={\sqrt {x_{0}^{2}-s^{2}} },\quad y=y_{0},\quad z=z_{0},\quad -x_{0}<s<x_{0}\;,

kde je správný čas tohoto pozorovatele. Všimněte si, že Rindlerovy souřadnice pokrývají pouze malou část kompletní historie tohoto pozorovatele! To přímo ukazuje, že Rindlerovy souřadnice nejsou geodeticky úplné : časové geodetiky opouštějí oblast pokrytou těmito souřadnicemi v konečném správném čase. To se samozřejmě dalo očekávat, protože Rindlerovy souřadnice pokrývají pouze část původních kartézských souřadnic, které jsou geodeticky úplné. $s$

Rindlerovo panorama

Rindlerovy souřadnice mají souřadnicovou singularitu v , kde metrický tenzor (vyjádřený v Rindlerových souřadnicích) má mizející determinant . To je způsobeno tím, že jak se zrychlení Rindlerových pozorovatelů rozchází, má tendenci k nekonečnu. Jak je vidět z obrázku znázorňujícího Rindlerův klín, lokus v Rindlerových souřadnicích odpovídá lokusu v Minkowského souřadnicích, který se skládá ze dvou světlých polorovin, z nichž každá je pokryta svou vlastní světelnou geodetikou. shoda. Tato místa se nazývají Rindlerův horizont . $x=0$ $x\rightarrow 0$ $x=0$ $T^{2}=X^{2},\;X>0$

Zde jednoduše považujeme horizont za hranici oblasti pokryté Rindlerovými souřadnicemi. Článek Rindler's Horizon ukazuje, že tento horizont se svými základními vlastnostmi skutečně podobá horizontu událostí černé díry .

Geodetické linie

Geodetické rovnice v Rindlerových souřadnicích jsou jednoduše odvozeny z Lagrangianu :

{\ddot {t}}+{\frac {2}{x}}\,{\tečka {x}}{\tečka {t}}=0,\quad {\ddot {x}}+x{\ tečka {t}}^{2}=0,\quad {\ddot {y}}=0,\quad {\ddot {z}}=0\;.

Přirozeně v původních kartézských souřadnicích tyto geodetiky vypadají jako přímky, takže je lze snadno získat z přímek transformací souřadnic. Poučné však bude získávat a studovat geodetiku v Rindlerových souřadnicích bez ohledu na původní souřadnice a přesně to se zde bude dělat.

Z první, třetí a čtvrté rovnice se okamžitě získají první integrály

{\tečka {t}}={\frac {E}{x^{2}}},\quad {\tečka {y}}=P,\quad {\tečka {z}}=Q\;.

Ale z čárového prvku vyplývá, kde pro geodetiku podobnou času, světlu a prostoru. To dává čtvrtý první integrál rovnic, jmenovitě $\varepsilon =-x^{2}\,{\tečka {t}}^{2}+{\tečka {x}}^{2}+{\tečka {y}}^{2}+{\tečka {z}}^{2}\;,$ $\varepsilon =-1,\,0,\,1$

{\dot {x}}^{2}=\left(-\varepsilon +{\frac {E^{2}}{x^{2}}}\right)-P^{2}-Q^{ 2}\;.

To je dostatečné pro úplné řešení geodetických rovnic.

V případě lightlike geodeics , od na nenulové , souřadnice se mění v intervalu . ${\frac {E^{2}}{x^{2}}}-P^{2}-Q^{2}$ $E$ $X$ $0<x<{\frac {E}{{\sqrt {P^{2}+Q^{2))))}$

Kompletní sedmiparametrová rodina geodetek podobných světlu procházející jakoukoli událostí Rindlerova klínu je

{\begin{matrix}t-t_{0}&=&{\mathrm {arth}}\left(\displaystyle {\frac {s\,(P^{2}+Q^{2})-{\ sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})\,x_{0}^{2)))){E}}\right)\\&&+~{\mathrm { arth}}\,\left(\displaystyle {\frac {{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})\,x_{0}^{2)))) {E}}\right)\end{matrix}}

x={\sqrt {x_{0}^{2}+2\,s\,{\sqrt {E^{2}-(P^{2}+Q^{2})\,x_{0} ^{2}}}-s^{2}\,(P^{2}+Q^{2})}}

y-y_{0}=P\,s;\quad z-z_{0}=Q\,s.

Vynesením trajektorií světlopodobných geodetik procházejících jedinou událostí (tedy jejich promítnutím do prostoru Rindlerových pozorovatelů ) získáme obraz připomínající rodinu půlkruhů procházejících jedním bodem a kolmých k Rindlerovu horizontu. $t=0$

Farm Metric

Skutečnost, že v Rindlerových souřadnicích jsou projekce světlopodobných geodetik na jakýkoli prostorový řez pro pozorovatele Rindlera jednoduše půlkruhy, lze ověřit přímo z obecného řešení uvedeného výše, ale existuje snazší způsob, jak to vidět. Ve statickém časoprostoru lze vždy vyčlenit nezkroucené pole vektoru zabíjení podobného času . V tomto případě existuje jednoznačně definovaná rodina (identických) prostorových hyperpovrchů-řezů ortogonálních k odpovídajícím světovým liniím statických pozorovatelů (které nemusí být inerciální). To nám umožňuje definovat novou metriku na kterémkoli z těchto povrchů, která je konformní s původní indukovanou metrikou řezu a má tu vlastnost, že geodetika této nové metriky ( Riemannovy metriky na Riemannově 3-manifoldu) přesně sleduje projekce světlu podobná časoprostorová geodetika na ten řez. Tato nová metrika se nazývá Fermatova metrika (analogicky s Fermatovým principem ) a ve statickém časoprostoru se souřadnicovým systémem, ve kterém má liniový prvek tvar

ds^{2}=g_{{00}}\,dt^{2}+g_{{jk}}\,dx^{j}\,dx^{k},\quad 1\leqslant j,\; k\leqslant 3

při řezání získává tvar $t=t_{0}$

d\rho ^{2}={\frac {g_{{jk}}\,dx^{j}\,dx^{k}}{-g_{{00}}}}

V Rindlerových souřadnicích je časový překlad takovým Killingovým polem, takže Rindlerův klín je statický prostoročas (což není překvapivé, protože je součástí statického Minkowského prostoročasu). Proto lze napsat Fermatovu metriku pro pozorovatele Rindlera: $\částečné _{t}$

d\rho ^{2}={\frac {dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}{x^{2}}},\quad 0<x<\infty ,\quad -\infty <y,\;z<\infty \;.

Ale tento výraz se shoduje se známým lineárním prvkem hyperbolického prostoru v souřadnicích horního poloprostoru . Významově se blíží ještě známějším horním polorovinným souřadnicím pro hyperbolickou rovinu , známým generacím studentů komplexní analýzy v souvislosti s konformním zobrazením (a dalšími problémy) a mnoho matematicky zdatných čtenářů již ví, že geodetické čáry v horním polorovinném modelu jsou půlkruhy (ortogonální ke kružnici v nekonečnu reprezentované skutečnou osou). ${\mathbf {H}}^{3}$ ${\mathbf {H}}^{2}$ ${\mathbf {H}}^{2}$

Symetrie

Protože Rindlerovy souřadnice pokrývají část Minkowského prostoru, dalo by se očekávat, že budou mít také 10 lineárně nezávislých Killingových vektorových polí. Navíc v kartézských souřadnicích je lze zapsat okamžitě, respektive: jednoparametrovou podskupinu časových translace a tři tříparametrové - prostorové translace, prostorové rotace a časoprostorové boosty. Společně tyto vektory generují (správnou izochronní) Poincarého grupu, Minkowského prostorovou grupu symetrie.

Je však také užitečné psát a řešit rovnice zabíjení přímo v Rindlerových souřadnicích. Pak můžete získat 4 vražedná pole, podobná těm původním v kartézských souřadnicích:

\částečné _{t},\;\;\částečné _{y},\;\;\částečné _{z},\;\;-z\,\částečné _{y}+y\,\částečné _ {z}

(časové posuny, prostorové posuny, ortogonální ke směru zrychlení a prostorové rotace v rovině kolmé ke směru zrychlení) plus šest dalších polí:

\exp(\pm t)\,\left({\frac {y}{x}}\,\částečný _{t}\pm \left(y\,\částečný _{x}-x\,\částečný _{y}\vpravo)\vpravo)\;,

\exp(\pm t)\,\left({\frac {z}{x}}\,\částečný _{t}\pm \left(z\,\částečný _{x}-x\,\částečný _{z}\vpravo)\vpravo)\;,

\exp(\pm t)\,\left({\frac {1}{x}}\,\partial _{t}\pm \partial _{x}\right)\;.

Poznamenáváme, že tyto generátory lze přirozeně rozložit na Minkowského prostorové generátory v kartézských souřadnicích, takže existuje jejich kombinace odpovídající generátoru časových překladů , i když Rindlerův klín zjevně není u takových překladů invariantní. Důvodem je lokální povaha řešení Killingových rovnic, stejně jako jakýchkoli diferenciálních rovnic na manifoldu, kdy existence lokálních řešení nezaručuje jejich existenci v globálním smyslu. To znamená, že za vhodných podmínek na parametrech skupiny lze toky zabíjení vždy definovat ve vhodném malém sousedství , ale tok nemusí být dobře definován globálně . Tato skutečnost přímo nesouvisí s Lorentzovou strukturou časoprostoru, protože stejné potíže vznikají při studiu libovolných hladkých variet . $\částečné _{T}$

Různé definice vzdálenosti

Jedna z mnoha poučných věcí, která pochází ze studia Rindlerových souřadnic, je skutečnost, že Rindlerovi pozorovatelé mohou používat několik různých (ale stejně rozumných) definic vzdálenosti .

První definici jsme tiše implikovali již dříve: indukovaná Riemannova metrika na prostorových řezech poskytuje definici vzdálenosti, kterou lze nazvat vzdáleností podél pravítka , protože její operační význam je přesně tento. $t=t_{0}$

Z hlediska standardních fyzikálních měření je metrologicky správnější používat radarovou vzdálenost mezi světočárami. Vypočítá se odesláním vlnového paketu podél světlu podobné geodéze ze světové čáry jednoho pozorovatele (událost ) do světočáry objektu, kde se paket odrazí (událost ) a vrátí se k pozorovateli (událost ). Radarová vzdálenost je pak nalezena jako polovina součinu rychlosti světla krát doba zpáteční cesty paketu na hodinách pozorovatele. $A$ $B$ $C$

(Naštěstí v Minkowského prostoru můžeme ignorovat možnost vícenásobné geodetiky podobné světlu mezi dvěma světovými liniemi, ale v kosmologických modelech a jiných aplikacích tomu tak již není! Upozorňujeme také, že takto získaná „vzdálenost“ je obecně není symetrický vzhledem k přemístění pozorovatele a objektu!)

Uvažujme zejména dvojici Rindlerových pozorovatelů se souřadnicemi a , resp. (Všimněte si, že první z nich zrychluje o něco silněji než druhý.) Za předpokladu , že v lineárním Rindlerově prvku snadno získáme rovnici světlo podobné geodetiky ve směru zrychlení: $x=x_{0},\;y=0,\;z=0$ $x=x_{0}+h,\;y=0,\;z=0$ $dy=dz=0$

t-t_{0}=\log(x/x_{0})\;.

Proto je radarová vzdálenost mezi těmito pozorovateli dána o

x_{0}\,\log \left(1+{\frac {h}{x_{0}}}\right)=h-{\frac {h^{2}}{2\,x_{0} }}+O\left(h^{3}\vpravo)\;.

Je o něco menší než "vzdálenost pravítka", ale pro blízké body bude rozdíl zanedbatelný.

Třetí možná definice vzdálenosti je následující: pozorovatel změří úhel, který svírá disk o jednotkové velikosti umístěný na určité světové čáře. Tato vzdálenost se nazývá úhlová vzdálenost nebo vzdálenost optického průměru . Vzhledem k jednoduché povaze geodetek podobných světlu v Minkowského prostoru lze tuto vzdálenost mezi dvěma Rindlerovými pozorovateli orientovanými podél zrychlení snadno vypočítat. Z výše uvedených obrázků je vidět, že úhlová vzdálenost závisí na následujícím: . Pokud je tedy kladná, první pozorovatel naměří úhlovou vzdálenost o něco větší než vzdálenost pravítka, která je zase o něco větší než vzdálenost radaru. $h$ $h+{\frac {h^{2}}{x_{0}}}+O\left(h^{3}\vpravo)$ $h$

Existují i jiné definice vzdálenosti, ale je třeba poznamenat, že ačkoli jsou hodnoty těchto „vzdáleností“ různé, přesto se všechny shodují na tom, že vzdálenosti mezi každou dvojicí Rindlerových pozorovatelů zůstávají v čase konstantní . Skutečnost, že nekonečně blízcí pozorovatelé jsou vzájemně nepohybliví, vyplývá z výše uvedeného faktu: expanzní tenzor kongruence světočar Rindlerových pozorovatelů je shodně roven 0. Pro konečné vzdálenosti platí tato vlastnost „tuhost“. To je skutečně velmi důležitá vlastnost, protože v relativistické fyzice je již dlouho známo, že není možné urychlit tyč absolutně pevně , viz Bellův paradox (a podobně je nemožné otáčet diskem absolutně rigidně , viz Ehrenfestův paradox ) - alespoň bez použití nehomogenních napětí. Nejjednodušší způsob, jak si to ověřit, je uvědomit si skutečnost, že pokud v newtonovské fyzice působíte na absolutně tuhé těleso nějakou silou, všechny jeho prvky okamžitě změní pohybový stav. To zjevně odporuje relativistickému principu konečnosti rychlosti přenosu fyzikálních efektů.

Pokud je tedy tyč zrychlena nějakou vnější silou působící kdekoli po její délce, všechny její prvky nemohou zažít stejné zrychlení, pokud není tyč neustále natahována nebo stlačována. Jinými slovy, stacionární (vzhledem k sobě) zrychlená tyč musí obsahovat nehomogenní napětí. Navíc v žádném myšlenkovém experimentu s časově proměnnými silami náhle nebo postupně aplikovanými na objekt se nelze omezit pouze na kinematiku a vyhnout se problému zahrnutí modelu těla samotného, tedy dynamiky.

Vrátíme-li se k otázce provozní hodnoty vzdálenosti podél pravítka, podotýkáme, že pro zcela jasnou definici musí obsahovat nějaký model hmoty samotného pravítka.

Viz také

Bellův paradox je paradoxní myšlenkový experiment, který je často studován pomocí Rindlerových souřadnic.
Born souřadnice jsou další důležité souřadnice v Minkowského prostoru, které popisují rotující pozorovatele.
Ehrenfestův paradox je dalším paradoxním myšlenkovým experimentem, který je často studován pomocí Bornových souřadnic.
Kongruence (obecná teorie relativity)
Pole sešitů
Zdroje obecné teorie relativity
Raychaudhuriho rovnice
Unruh efekt

Odkazy

Obecné odkazy:

Boothby, William M. Úvod do diferencovatelných variet a Riemannovy geometrie . — New York: Academic Press, 1986. Viz kapitola 4 pro úvod do vektorových polí na hladkých manifoldech.

Frankel, Theodore. Gravitační zakřivení: úvod do Einsteinovy teorie . - San Francisco: WH Freeman, 1979. Viz kapitola 8 pro odvození Fermatovy metriky.

Rindlerovy souřadnice:

Misner, Karel; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald. Gravitace (anglicky) . - San Francisco: W.H. Freeman, 1973. Viz část 6.6 .

Rindler, Wolfgang. Relativita : speciální, obecná a kosmologická . — Oxford: Oxford University Press, 2001.

Rindler panorama:

Jacobson, Ted; a Parenti, Renaud. Horizon Entropy // Nalezeno . Phys. : deník. - 2003. - Sv. 33 . - str. 323-348 . tisk

Barceló, Carlos; Liberati, Stefano; a Visser, Matt. Analogová gravitace . Živé recenze v relativitě . Získáno 6. května 2006. Archivováno z originálu 22. února 2012. (neurčitý)