Výnosová křivka

Výnosová křivka s( zero- coupon ) výnosová křivka neboli časová struktura úrokových sazeb jezávislost (křivka závislosti) výnosu homogenních finančních instrumentů na jejich podmínkách, za předpokladu, že zprostředkují žádné platby. Výnosovou křivku lze sestavit pro konkrétní organizaci. Jednou ze základních výnosových křivek je křivka pro státní cenné papíry (G-křivka, G-křivka ) různé splatnosti (v Rusku - pro OFZ ). Lze ji podmíněně považovat za bezrizikovou výnosovou křivku pro danou zemi. Vzhledem ke státní politice stimulace investic do státních dluhopisů však G-křivka nemusí zcela správně odrážet bezrizikovou křivku, proto se k jejímu sestavení používají tržní výnosy jiných různých finančních nástrojů - úrokové swapy, sazby peněžního trhu (mosprime, libor), sázky přes noc (RUONIA).

Charakterizuje stav dluhového trhu, ekonomiky jako celku a využívá se při hodnocení úrokového rizika a rozhodování účastníků trhu s dluhovými cennými papíry. Bezriziková výnosová křivka vlastně určuje i forwardové výnosové křivky (očekávaná dynamika sazeb). Bezriziková výnosová křivka může být použita pro stanovení reálné hodnoty různých finančních nástrojů.

Tvar výnosové křivky ukazuje, jak všichni věřitelé upřednostňují konkrétního dlužníka (například americké ministerstvo financí nebo japonské ministerstvo financí), nebo jak jednotlivý věřitel upřednostňuje všechny potenciální dlužníky. Za jinak stejných okolností věřitelé raději ponechávají své finanční prostředky k dispozici, než aby je dávali k dispozici třetí straně. Úroková sazba je „cenou“ přesvědčování věřitelů, aby půjčili. S prodlužující se dobou splatnosti půjčky požadují věřitelé zvýšení úrokové sazby, protože věřitelé se mohou obávat budoucích okolností v důsledku například možné platební neschopnosti nebo rostoucí inflace, což vysvětluje vyšší úrokové sazby u dlouhodobých úvěrů, na rozdíl od krátkodobé půjčky, aby se kompenzovalo zvýšené riziko. V některých případech, kdy věřitelé agresivně hledají spíše dlouhodobý dluh než krátkodobý, se výnosová křivka „obrátí“, když se úrokové sazby (výnosy) sníží na delší dobu splácení, protože dlužníci snáze získávají dlouhodobé půjčky.

Základní pojmy

U diskontního dluhopisu se datum splatnosti ( , je okamžik, od kterého se počítá datum splatnosti) shoduje s jeho dobou trvání . Označme cenu dluhopisu v každém časovém okamžiku jako . Vezměme nominální hodnotu za jednotku, respektive cenu - jako procento z nominální hodnoty. Jeho výnos do splatnosti určuje průměrné tempo růstu ceny dluhopisu k nominální hodnotě. To znamená, že dynamiku ceny diskontního dluhopisu lze popsat následujícím vzorcem: $T=T\left(t\right)$ $t$ $p\left(t,T\right)$ $r\left(t,T\right)$

p\left(t',T\left(t'\right)\right)=p\left(t,T\right)\cdot e^{\left(t'-t\right)\cdot r\left(t,T\right)}

Uvážíme-li, že v tuto chvíli by se cena měla rovnat 1 (nominální hodnota), získáme vyjádření pro výnos do splatnosti v souvislých hodnotách: $t'-t=T$

r\left(t,T\right)=-{\frac {\ln p\left(t,T\right)}{T))

Hodnota , uvažovaná jako funkce doby do splatnosti , je termínová ( dočasná ) struktura úrokových sazeb a grafickým zobrazením je výnosová křivka . $r\left(t,T\right)$ $T$

Krátkodobá úroková sazba (nebo spotová sazba , okamžitá úroková sazba ) je sazba , kdy se splatnost blíží nule. Ve skutečnosti je spotová sazba derivací logaritmu ceny diskontního dluhopisu s ohledem na termín v nulovém bodě vzhledem k termínu. $r\left(t,T\right)$ $T$

r\left(t\right)=\left.{\frac {\partial \ln P\left(t,T\right)}{\partial T))\right\vert _{T=0}

Forwardová sazba je nepřetržitý výnos do splatnosti v budoucím časovém okamžiku po dobu 200 000 Kč , určená na základě aktuálně dostupných informací . Protože máme tendenci k nule, máme okamžitý forwardový kurz $f\left(t,t_{F},\tau \right)$ $t_{F}$ $\tau$ $t$ $\tau$ $f\left(t,t_{F}\right)$

Výnosová křivka souvisí s forwardovými sazbami takto:

r\left(t,T\right)={\frac {1}{T}}\int _{t}^{t+T}f\left(t,t_{F}\right)\ ,dt_{F}

Tvar a teorie výnosové křivky

Neexistuje jediný druh výnosové křivky, která by popisovala hodnotu peněz pro každého. Typ křivky závisí na bonitě dlužníka. Nejdůležitějším faktorem pro stanovení výnosové křivky je měna, ve které jsou cenné papíry denominovány. Ekonomická pozice zemí a společností používajících každou z měn je hlavním faktorem, který určuje výnosovou křivku. Různé instituce si půjčují peníze za různé sazby v závislosti na jejich bonitě.

Výnosové křivky odpovídající státním dluhopisům v jejich vlastní měně se nazývají výnosové křivky státních dluhopisů ( vládní křivka ) . Banky s vysokým ratingem (Aa/AA nebo vyšší) si mohou mezi sebou půjčovat peníze za sazby LIBOR. Tyto výnosové křivky bývají o něco vyšší než ty vládní. Jsou nejdůležitější a nejrozšířenější na finančních trzích a jsou známé jako křivky LIBOR nebo swapové křivky .

Kromě křivek státních dluhopisů a křivek LIBOR existují korporátní křivky (korporátní nebo firemní). Jsou postaveny z výnosů dluhopisů vydaných korporacemi. Vzhledem k tomu, že korporace mají nižší bonitu ve srovnání se státy a velkými bankami, jsou korporátní křivky vyšší než bankovní a státní. Například na korporátní křivce Vodafonu lze pětiletý výnosový bod v definovat jako LIBOR + 0,25 % (často psaný jako „25 bazických bodů“ nebo „ 25 bps “), kde 0,25 % se nazývá „úvěrové rozpětí“.

V normální situaci je výnosová křivka monotónně rostoucí nahoru konvexní křivka. To za prvé znamená, že s nárůstem termínu výnos roste (kladný sklon), a za druhé, rychlost změny výnosu s nárůstem termínu klesá (má tendenci k nule). Toto je normální tvar křivky. Tvar výnosové křivky se však může v krizových situacích výrazně změnit. Například při systémové krizi likvidity nejprve podstatně rostou krátkodobé výnosy, zatímco dlouhodobé výnosy rostou méně. Vzniká tak výnosová křivka, ve které do určitého krátkého období výnos prudce stoupá, dosahuje maxima a po tomto období výnos klesá s nárůstem termínu (negativní sklon). Jedná se o tzv. „hrbatý“ tvar křivky. V extrémním případě může krátká část křivky (rostoucí míra) chybět úplně, to znamená, že pro každé i velmi krátké období je míra spíše vysoká a s nárůstem periody míra klesá (tvar křivky křivka se může stát konkávní – konvexní dolů). Jedná se o tzv. inverzní (převrácený) tvar křivky. Negativní sklon se obvykle vyskytuje ve vysoké míře (nad dlouhodobými průměry), zatímco normální forma se vyskytuje v relativně nízké míře. V některých případech může mít výnosová křivka tvar blízký přímce s kladným sklonem.

Další vlastnost - nejčastěji je pohyb úrokových sazeb za různá období jednosměrný , to znamená, že pokud sazby rostou, pak vše (možná v různé míře), pokud klesají, pak také všechno.

Existuje několik teorií (hypotéz), které tyto rysy výnosové křivky vysvětlují.

Hypotéza očekávání

Tvar křivky je určen očekáváním účastníků trhu ohledně budoucích sazeb, to znamená, že dlouhodobé sazby jsou určeny očekáváním budoucích krátkodobých sazeb. Tyto předpoklady se objevily v dílech Böhm-Bawerka a Fischera na konci 19. století, stejně jako v díle Fischera v roce 1930. Hypotéza čistých očekávání (nebo hypotéza čistých očekávání) předpokládá, že forwardová sazba je nestranný odhad budoucí spotové sazby, tj. forwardová prémie je nulová a spotová sazba za určité období se rovná aritmetickému průměru okamžitých forwardových sazeb až do výše toto období (z hlediska běžných sazeb musí vycházet z geometrického průměru).

Hypotéza očekávání vysvětluje obecnou jednosměrnost pohybů úrokových sazeb pro různá období. Na základě této hypotézy je také snadné vysvětlit inverzi výnosové křivky. Když jsou krátkodobé sazby pod dlouhodobým průměrem, pak účastníci trhu očekávají, že v budoucnu porostou, a když jsou nad dlouhodobým průměrem, účastníci trhu očekávají, že v budoucnu budou klesat. V souladu s tím budou dlouhodobé sazby jako průměr očekávaných krátkodobých sazeb vyšší nebo nižší než průměrné krátkodobé sazby. Tato hypotéza navíc vysvětluje i výrazně vyšší volatilitu krátkodobých sazeb oproti sazbám dlouhodobým (volatilita průměru, jak známo, klesá s nárůstem počtu termínů).

Hypotéza očekávání však nedokáže vysvětlit převážně kladný sklon výnosové křivky (pak by se muselo předpokládat, že sazby jsou převážně pod dlouhodobým průměrem).

Počínaje rokem 1970 se objevila kritika hypotézy čistých očekávání kvůli určité nekonzistenci se stochastickými modely dynamiky sazeb. Zejména nemohla být splněna podmínka Jensenovy nerovnosti . Hypotéza čistých očekávání byla upravena za předpokladu nenulové, ale přesto konstantní v čase a stejné forwardové prémie pro všechny podmínky.

Teorie preference likvidity

Již ve 30. a 40. letech 20. století ekonomové navrhovali, že forwardové sazby by měly obsahovat kladnou rizikovou nebo termínovanou prémii. V rámci této teorie se předpokládá, že úrokové sazby jsou určovány nejen očekáváním účastníků trhu, ale i obecnou preferencí likvidity - účastníci trhu za stejných podmínek preferují krátkodobé investice finančních prostředků a vyžadují další ziskovost (prémie) za dlouhodobé „zmrazení“ finančních prostředků. Jedná se o prémii za cenu a další rizika spojená s dlouhou investiční dobou.

V rámci této hypotézy tedy forwardová prémie nejen pozitivně, ale také přímo závisí na termínu, nicméně zůstává v čase konstantní. V tomto případě může být negativní sklon křivky pouze v případě, že nárůst krátkodobých sazeb je tak velký, že pokryje forwardovou prémii.

Další vývoj šel směrem, kdy se dopředná prémiová funkce v průběhu času měnila v závislosti na různých exogenních faktorech.

Segmentace trhu a teorie "preferovaného prostředí"

Tato teorie vychází ze skutečnosti, že trh krátkodobých dluhopisů a trh dlouhodobých dluhopisů jsou zásadně odlišné trhy, na které vstupují různí účastníci trhu s předem stanovenými cíli. Proto jsou výnosy příslušných dluhopisů tvořeny nezávisle na sobě. V obecném případě se předpokládá, že existují určité segmenty trhu pro různé podmínky dluhopisů, které nemohou být náhradou za investování prostředků. Poptávka po dluhopisech s různými podmínkami je prezentována různými skupinami investorů s různými cíli. Tato myšlenka byla poprvé navržena Culbertsonem v roce 1957. Tato hypotéza však sama o sobě nedokáže vysvětlit jednosměrnou povahu sazeb ani skutečnost, že inverzní křivka se obvykle vyskytuje při relativně vysokých sazbách a normální křivka při nízkých sazbách.

Ceny finančních nástrojů a výnosová křivka

Pokud se očekává, že finanční aktivum bude mít fixní peněžní toky , pak se náklady na toto aktivum rovnají $CF_{t_{i)),\;i=1\tečky n$

V=\sum _{i=1}^{n}CF_{t_{i}}e^{-r_{t_{i}}t_{i}}=\sum _{i=1}^ {n}CF_{t_{i}}DF_{t_{i}}

kde jsou hodnoty (kontinuálních) diskontních sazeb podél výnosové křivky, jsou odpovídající diskontní faktory (odpovídající křivka se nazývá diskontní křivka nebo křivka diskontního faktoru) $r_{t_{i))$ $DF_{t_{i}}=e^{-r_{t_{i}}t_{i}}$

Pokud u aktiva s pevnými peněžními toky neexistují žádná další rizika (především úvěrové riziko), pak se k ocenění aktiva použije bezriziková výnosová křivka. Bezriziková výnosová křivka se také používá k ocenění finančních aktiv pomocí podobného vzorce, pokud místo peněžních toků vložíme jejich podmíněná matematická očekávání (podmíněná podle informací dostupných v době ocenění). Takové hodnocení se nazývá rizikově neutrální hodnocení.

Metody pro konstrukci výnosové křivky

Nejistota výnosové křivky

Vezmeme-li v úvahu vzorec pro oceňování finančních aktiv podle výnosové křivky, za přítomnosti n aktiv s tržní cenou můžeme napsat soustavu rovnic pro diskontní faktory (a tedy pro výnosovou křivku)

\sum _{j=1}^{m}CF_{t_{ij}}DF_{t_{i}}=P_{i}\,,\quad i=1\tečky n

takový systém lineárních rovnic má však nekonečný počet řešení, protože počet „časových bodů“ peněžních toků je obvykle mnohem větší než počet nástrojů . K odhadu výnosové křivky se proto používají různé interpolační metody. $m$ $n$

Bootstrapping

Parametrické modely výnosových křivek

Nelson-Siegelův model

Nelson-Siegelův model výnosové křivky je založen na následujícím modelu forwardové sazby:

R_{NS}^{forward}=\beta _{0}+\left(\beta _{1}+\beta _{2}{\frac {t}{\tau }}\right)e ^{-{\frac {t}{\tau }}}

kde , , , jsou parametry, které mají být odhadnuty. Odpovídající průběžně nabíhající sazba je ${\displaystyle \beta _{0))$ $\beta_{1}$ $\beta _{2}$ $\tau$

r_{NS}=\beta _{0}+\left(\beta _{1}+\beta _{2}\right){\frac {1-e^{-{\frac {t} {\tau }}}}{\frac {t}{\tau }}}-\beta _{2}e^{-{\frac {t}{\tau }}}

Upravený Nelson-Siegelův model

Aby bylo možné přesněji odhadnout křivku pro krátká období (méně než 3 roky ), použije se na Nelson-Siegelův model následující korekce:

r_{NS}^{*}=r_{NS}+g_{1}e^{-{\frac {t^{2}}{2}}}+g_{2}e^{-{ \frac {\left(t-1\right)^{2}}{2}}}+g_{3}e^{-{\frac {\left(t-2\right)^{2}}{ 2}}}

Rozsah úpravy je obvykle malý, nicméně umožňuje sestavit přesnější výnosovou křivku.

Swensonův model

Model Swenson má 6 parametrů. Forward rate se liší od Nelson-Siegel modelu dodatečným termínem, který obsahuje dva další parametry:

R_{SV}^{forward}=\beta _{0}+\left(\beta _{1}+\beta _{2}{\frac {t}{\tau _{1))} \right)e^{-{\frac {t}{\tau _{1))))+\beta _{3}{\frac {t}{\tau _{2))}e^{-{ \frac {t}{\tau _{2}}}}

Modely pro vývoj úrokových sazeb a výnosové křivky

Výnosová křivka pro Vášíčkův jednofaktorový model

Odkazy

Slovníky a encyklopedie	Britannica (online) Britannica (online)