Kritérium stability trasy

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 23. května 2021; kontroly vyžadují 3 úpravy .

Routhovo kritérium stability je jednou z metod analýzy stability lineárního stacionárního dynamického systému . Spolu s Hurwitzovým kritériem (které se často nazývá Routh-Hurwitzovo kritérium ) je členem rodiny algebraických kritérií stability (na rozdíl od frekvenčních kritérií , jako je Nyquist-Mikhailov kritérium stability ). Navrhl E. J. Rous v roce 1875 [1]

Navzdory skutečnosti, že Routhovo kritérium bylo historicky navrženo dříve než Hurwitzovo kritérium , může být použito jako pohodlnější schéma pro výpočet Hurwitzových determinantů , zejména s velkými stupni charakteristického polynomu [2] .

Mezi výhody metody patří jednoduchá implementace na počítači pomocí rekurzivního algoritmu a také snadná analýza pro systémy malého (až 3) řádu. Mezi nevýhody patří nedostatečná viditelnost metody: při jejím použití je obtížné získat informace o stupni stability, o jejích rezervách .

Formulace

Metoda pracuje s koeficienty charakteristické rovnice soustavy. Nechť je přenosová funkce systému a nechť je charakteristická rovnice systému. Charakteristický polynom znázorníme ve tvaru $W(s)={\frac {Y(s)}{U(s)}}$ $\ U(s)=0$ $\ U(s)$

{\displaystyle \ U(s)=a_{0}s^{n}+a_{1}s^{n-1}+...+a_{n))

Routhovo kritérium je algoritmus , podle kterého je sestavena speciální tabulka, ve které jsou koeficienty charakteristického polynomu zapsány tak, že:

první řádek obsahuje koeficienty rovnice se sudými indexy ve vzestupném pořadí;
ve druhém řádku - s lichým;
zbývající prvky tabulky jsou určeny vzorcem: , kde je číslo řádku, je číslo sloupce; ${\displaystyle \c_{k,i}=c_{k+1,i-2}-r_{i}\cdot c_{k+1,i-1))$ $r_{i}={\frac {c_{1,i-2}}{c_{1,i-1}}},i\geq 3$ $\k$
počet řádků v tabulce Routh je o jeden větší než řád charakteristické rovnice.

Směrový stůl:

$\ri$	$\Downarrow i\Longrightarrow k$	jeden	2	3	čtyři
-	jeden	${\displaystyle \c_{1,1}=a_{0))$	${\displaystyle \ c_{2,1}=a_{2))$	${\displaystyle \ c_{3,1}=a_{4))$	...
-	2	$\ c_{1,2}=a_{1}$	${\displaystyle \ c_{2,2}=a_{3))$	$\ c_{3,2}=a_{5}$	...
$r_{3}={\frac {c_{1,1}}{c_{1,2}}}$	3	${\displaystyle c_{1,3}=c_{2,1}-r_{3}\cdot c_{2,2))$	${\displaystyle c_{2,3}=c_{3,1}-r_{3}\cdot c_{3,2))$	${\displaystyle c_{3,3}=c_{4,1}-r_{3}\cdot c_{4,2))$	...
$r_{4}={\frac {c_{1,2}}{c_{1,3}}}$	čtyři	${\displaystyle c_{1,4}=c_{2,2}-r_{4}\cdot c_{2,3))$	${\displaystyle c_{2,4}=c_{3,2}-r_{4}\cdot c_{3,3))$	${\displaystyle c_{3,4}=c_{4,2}-r_{4}\cdot c_{4,3))$	...
...	...	...	...	...	...

Formulace kritéria Routh:

Pro stabilitu lineárního stacionárního systému je nutné a postačující, aby koeficienty prvního sloupce Routh tabulky měly stejné znaménko. Pokud tomu tak není, pak je systém nestabilní. $\ c_{1,1},c_{1,2},c_{1,3},...$

Viz také

Poznámky

↑ Postnikov, 1981 , str. 15-16.
↑ Chernetsky, 1996 , s. 264-267.

Literatura

Postnikov M. M. Stabilní polynomy. - M. : Nauka, 1981. - 176 s.
Chernetsky VI Matematické modelování dynamických systémů. - Petrozavodsk: Petrozavodský stát. un-t, 1996. - 432 s. — ISBN 5-230-08981-4 . .