Po částech definovaná funkce

Po částech funkce je funkce jedné proměnné, definované na množině reálných čísel , která je specifikována samostatným vzorcem (nebo jiným způsobem určení funkce) na každém z intervalů , které tvoří definiční obor.

Po částech afinní funkce je numerická funkce jedné proměnné tak, že celý její definiční obor lze „rozdělit“ na intervaly, takže funkce je afinní na vnitřku každého z intervalů.

Formální definice a přiřazení

Nechť jsou dány body změny přiřazení funkce. $x_{1}<x_{2}<\ldots <x_{n}$

Po částech specifikované funkce jsou obvykle specifikovány pro každý z intervalů samostatně. Formálně se to píše takto: $(-\infty ;x_{1}),(x_{1};x_{2});\ldots (x_{n};+\infty )$

$f(x)={\begin{cases}f_{0}(x),\quad x<x_{1}\\f_{1}(x),\quad x_{1}<x<x_{2} \\\cdots \\f_{n}(x),\quad x_{n}<x\end{cases}}$ .

Na některých intervalech nebo v některých bodech nemusí být v obecném případě po částech daná funkce definována.

Typy po částech

Pokud jsou všechny funkce konstantní, pak je funkce po částech konstantní. $f(x)$
Jestliže všechny funkce jsou lineární funkce , pak je po částech lineární funkce . $opravit)$ $f(x)$
Jestliže všechny funkce jsou spojité funkce , pak je po částech spojitá funkce . Sama o sobě však nemusí být kontinuální. $opravit)$ $f(x)$
Jestliže všechny funkce jsou diferencovatelné funkce , pak je to po částech hladká funkce . V tomto případě body změny funkcí mohou, ale nemusí být body zlomu. $opravit)$ $f(x)$
Pokud jsou všechny funkce monotónní , pak je to po částech monotónní funkce . Přitom na sousedních intervalech může být znaménko první derivace různé, tedy rostoucí nebo klesající funkce. $opravit)$ $f(x)$

Příklady běžně používaných funkcí po částech

Absolutní hodnota (modul) . $y=|x|$
funkce znamení . $y=\operatorname {sgn}(x)$
Funkce Heaviside $\theta (x)={\begin{cases}0,&x<0;\\1,&x\geqslant 0.\end{cases}}$
Po částech lineární funkce .
Spline .
B-spline .