Lemma Schura

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 3. prosince 2019; kontroly vyžadují 2 úpravy .

Schurovo lemma je tvrzení, které je jedním z hlavních v konstrukci teorie reprezentace grup .

Výrok lemmatu

Reprezentace grupy automorfismy nějakého vektorového prostoru se říká, že je neredukovatelná, pokud neexistuje žádný podprostor neměnný vzhledem k 0 a sobě . $G$ $GL(V)$ $\sigma :G\to GL(V)$ $\sigma$ $PROTI$

Schurovo lemma : Nechť je lineární zobrazení vektorových prostorů nad nějakým polem takové, že existují dvě neredukovatelné reprezentace a , Takové, že pro všechny . Pak: $F$ $f:V_{1}\to V_{2}$ $K$ $\sigma :G\to GL(V_{1})$ $\tau :G\to GL(V_{2})$ ${\displaystyle \tau _{g}f=f\sigma _{g))$ $G$

1) Jestliže není izomorfismus , pak je nulové zobrazení. $F$ $F$

2) Jestliže jsou konečné-dimenzionální přes algebraicky uzavřené pole a , pak je násobení nějakým prvkem pole . $V_{1}=V_{2}$ $K$ $\sigma=\tau$ $F$ $f:x\to \lambda x$

Důkaz

Základem důkazu je následující obecné tvrzení, které se také často nazývá „Schur lemma“:

Nechť a být moduly , které jsou jednoduché (tj. nemají žádné jiné submoduly než nulu a sebe). Pak je jakýkoli homomorfismus buď nulový, nebo izomorfismus na . $E$ $F$ $f:E\šipka doprava F$ $F$

Ve skutečnosti, protože a jsou submoduly, pak pokud je nenulový homomorfismus, máme , a , to je izomorfismus celého modulu . ${\mathrm {Ker}}\,f$ ${\mathrm {Im}}\,f$ $F$ ${\mathrm {Ker}}\,f=0$ ${\mathrm {Im}}\,f=F$ $F$ $F$

Nyní definujeme skupinový kruh . Prvky tohoto prstenu budou lineární kombinace . Násobení je dále určeno linearitou. Je jasné, že prsten. Na prostoru definujeme násobení prvku z prvkem : . Tak se proměníme v modul nad prstencem . Kontrola axiomů modulu je triviální, protože je reprezentace. podobně nahrazení za bude modul přes a rovnost je v tom, že mapování je homomorfismus modulů. Protože a jsou neredukovatelné, což znamená, že a jsou jednoduché jako moduly nad , je první část lemmatu dokázána. $KG]$ $k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n}$ $(k_{1}g_{1})(k_{2}g_{2})=(k_{1}k_{2})(g_{1}g_{2})$ $KG]$ $V_{1}$ $KG]$ $x\in V_{1}$ $(k_{1}g_{1}+k_{2}g_{2}+...+k_{n}g_{n})x=k_{1}\sigma _{{g_{1}}}x +k_{2}\sigma _{{g_{2}}}x+...+k_{n}\sigma _{{g_{n}}}x$ $V_{1}$ $KG]$ $\sigma$ $V_{2}$ $\sigma$ $\tau$ $KG]$ $\tau _{g}f=f\sigma _{g}$ $F$ $\sigma$ $\tau$ $V_{1}$ $V_{2}$ $KG]$

K důkazu druhé části použijeme známé tvrzení lineární algebry o existenci vlastního vektoru pro konečněrozměrný prostor nad algebraicky uzavřeném poli odpovídajícím vlastnímu číslu , . Pro jakýkoli prvek máme , a pro vlastní vektor je tedy podle první části lemmatu nulový homomorfismus, a proto je násobením nějakým . $x\neq 0$ $\lambda$ $f(x)=\lambda x$ $g\in G$ $\sigma _{g}(f-\lambda \operatorname {id})=(f-\lambda \operatorname {id})\sigma _{g}$ $(f-\lambda \operatorname {id} )(x)=0,$ $f-\lambda \operatorname {id}$ $F$ $\lambda$

Literatura

Kostrikin A.I. Úvod do algebry. Část III. Základní struktury. - 3. vyd. - M . : FIZMATLIT, 2004.
Leng S. Algebra. — M .: Mir, 1967.
Serre J.-P. Lineární reprezentace konečných grup. — M .: Mir, 1969.