Martingale

Pro systém hazardních her viz Martingale ; pro prvek koňského postroje, viz Martingale

Martingale v teorii náhodných procesů je takový náhodný proces , že nejlepší (ve smyslu odmocnina) predikce chování procesu v budoucnosti je jeho současný stav.

Diskrétní časové martingales

Posloupnost náhodných proměnných se nazývá martingal s diskrétním časem if $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$

${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N}$ ;
${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid X_{1},\ldots ,X_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N}$ .

Nechť je dána další posloupnost náhodných proměnných . Potom se posloupnost náhodných proměnných nazývá relativní martingal nebo -martingale if $\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\{Y_{n}\}$ $\{Y_{n}\}$

${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N}$ ;
${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]=X_{n},\quad n\in \mathbb {N}$ .

Martingales se spojitým časem

Nechť existuje pravděpodobnostní prostor s definovanou filtrací , kde . Pak se náhodný proces nazývá martingal s ohledem na , if $(\Omega ,{\mathcal {F}),\mathbb {P} )$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}_{t\in T}$ $T\subset \mathbb {R}$ $\{X_{t}\}_{t\in T}$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$

$X_{t}$ je měřitelný s ohledem na jakýkoli . ${\mathcal {F}}_{t}$ $v T$
${\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T$ .
${\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]=X_{s}$ téměř jistě . [jeden] $\quad \forall s,t\in T,\;s\leq t$

Pokud je přirozená filtrace brána jako , pak se jednoduše nazývá martingal. $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$ ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}$ $\{X_{t}\}$

Sub- a super martingales

Nechť je dána posloupnost náhodných proměnných . Potom se posloupnost náhodných proměnných nazývá sub(super)martingal vzhledem k if $\{Y_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\{X_{n}\}_{n\in \mathbb {N} }$ $\{Y_{n}\}$

${\mathsf {E}}|X_{n}|<\infty ,\quad n\in \mathbb {N} ;$
${\mathsf {E}}[X_{n+1}\mid Y_{1},\ldots ,Y_{n}]\geq (\leq )X_{n},\quad n\in \mathbb {N} .$

Náhodný proces se nazývá sub(super)martingal s ohledem na if $\{X_{t}\}_{t\in T},\;T\podmnožina \mathbb {R}$ $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$

$X_{t}$ je měřitelný s ohledem na jakýkoli . ${\mathcal {F}}_{t}$ $v T$
${\mathsf {E}}|X_{t}|<\infty ,\quad t\in T$ .
${\mathsf {E}}[X_{t}\mid {\mathcal {F}}_{s}]\geq (\leq )X_{s},\quad \forall s,t\in T,\; s\leq t$ .

Pokud je přirozená filtrace brána jako , pak se jednoduše nazývá sub(super)martingale. $\{{\mathcal {F}}_{t}\}$ ${\mathcal {F}}_{t}=\sigma \{X_{s}\mid s\leq t\}$ $\{X_{t}\}$

Vlastnosti

Náhodný proces je martingal právě tehdy, když se jedná o submartingal i supermartingal.
Pokud je martingal, pak . $\{X_{t}\}$ ${\mathsf {E}}X_{t}=\mathrm {const}$
Pokud je submartingal, pak je supermartingal. $\{X_{t}\}$ $\{-X_{t}\}$
Jestliže je martingal a je konvexní funkce , pak je submartingal. Jestliže je konkávní funkce , pak je supermartingal. $\{X_{t}\}$ $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R}$ $\{f(X_{t})\}$ $F$ $\{f(X_{t})\}$
Obecně řečeno, martingal není Markovův proces .
- Opak je také pravdou: Markovův proces nemusí být martingal.

Příklady

Představte si hru, ve které se hází mincí, a pokud se objeví hlavy , hráč vyhraje 1 rubl. a v případě „ocasů“ ztratí 1 rub. Pak:
- pokud je mince vyvážená, pak stav hráče v závislosti na počtu her je martingal;
- pokud jsou hlavy pravděpodobnější, pak je stav hráče submartingal;
- pokud je pravděpodobnější, že dostane hlavy, pak stav hráče je supermartingal.

Wienerův proces (toto je matematický model Brownova pohybu ) je martingal.

Poznámky

↑ A.V. Bulinsky, A.N. Shiryaev. Teorie stochastických procesů Archivováno 15. února 2017 na Wayback Machine . Fizmatlit, 2005, s. 9.

Slovníky a encyklopedie	Velká dánština Velký Rus Britannica (online) Universalis
V bibliografických katalozích	BNF : 11932329h J9U : 987007553375505171 LCCN : sh85081645 NDL : 00567500