Metoda kuchyně

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 15. července 2022; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Metoda galeje (metoda přeškrtnutí)  je metoda dělení , která byla v Evropě nejpoužívanější zhruba do 17. století a nadále byla populární až do konce 18. století [4] . Metoda vznikla na základě čínských a indických metod. Metodu zmiňuje Al-Khwarizmi v dílech z roku 825 [4] , Luca Pacioli z roku 1492 [3] .

Na rozdíl od předchozích metod se u této metody čísla nemazala, ale přeškrtávala [4] . Je to obdoba moderního způsobu dělení sloupcem , avšak u galérní metody se odečítání dílčích produktů postupovalo zleva doprava, nikoli zprava doleva, jako u moderních metod.

Metoda získala svůj název pro podobnost linií zaznamenaných při výpočtu se siluetou stejnojmenného plavidla [4] [3] . Šikmé čáry, které sloužily k přeškrtnutí čísel, přitom připomínaly vesla. Někdy se pro získání podobnosti musí kresba otočit o 90° [5] .

Podobná metoda byla také použita pro extrakci kořenů .

Historie

Aritmetické operace s rostoucí početní kapacitou se stávají velmi pracné a citlivé na mechanické chyby a dělení je z nich nejobtížnější. „Obtížné podnikání je rozdělení“ ( italsky  dura cosa e la partita ) byl staroitalský výraz [6] :40 .

Ačkoli bylo dělení v Evropě až do 15. století považováno za obtížnou operaci, v Číně a Indii nebylo dělení považováno za zvlášť obtížné [4] [7] . Metoda dělení je zmíněna v „ Mathematics in Nine Books “ (2. století našeho letopočtu) a je podrobně popsána v Mathematical Treatise Sun Tzu (3.-5. století) [4] . Mnoho indických prací o matematice nepopisuje metodu dělení, za předpokladu, že je známá. Například Aryabhata (499) nepíše o metodě dělení , ačkoli nepochybně metoda dělení byla jeho čtenářům známa, protože Aryabhata popisuje metodu získávání kořenů, která vyžaduje dělení. V indické matematice je metoda dělení podobná čínštině poprvé zmíněna Sridhari (cca 800). Podrobný popis metody uvádí Aryabhata II v X století [7] .

Indiánská metoda se prováděla v písku nebo křídě na tabuli. Čínská metoda používala tyčinky jako čísla. V obou případech šlo čísla snadno smazat. V těchto metodách byl dělitel zapsán pod dividendu. Stejně jako v moderní metodě dělení sloupců byly z děliče odečteny dílčí součiny (tj. součiny dělitele o každou číslici odpovědi posunuté o příslušný počet číslic). Na rozdíl od moderní metody však byla stará dividenda vymazána a na její místo byl zapsán rozdíl, zatímco samotný dílčí součin se nezapisoval a ani nevypočítával a odečítání probíhalo kousek po kousku zleva doprava. Poté byl dělitel posunut o jednu číslici doprava (tato operace se ve středověké Evropě nazývala latinsky anterioratio ) [7] [4] . V čínské (a možná i v indické metodě) se podíl psal nad dělitelem [4] .

Tato metoda se stala známou Arabům, počínaje díly Al-Khwarizmiho (825) [7] [4] . Odtud se tato metoda dostala do Evropy [7] . V Evropě se dělení provádělo inkoustem na papíře, kvůli tomu doznal způsob dělení přirozenou modifikací díky tomu, že se čísla nemazala, ale škrtala [3] [7] [4] . Při odečítání dílčích součinů od dělitele se výsledek psal navrch. Přepisovat podíl přes dividendu se stalo nepraktickým, začali ho psát vpravo [4] . Tato modifikace vešla ve známost jako galley method ( galea, batello ) [7] , Britové tuto metodu nazývali také metodou scratch [5] [ 7 ] . 

Slavný italský matematik Niccolò Tartaglia (XVI. století) ve své slavné učebnici aritmetiky napsal o metodě následující [6] :41 :

Druhý způsob dělení se v Benátkách nazývá loď nebo galéra, kvůli určité podobnosti postavy, která z toho vyplývá, protože při dělení některých druhů čísel vzniká postava, která vypadá jako loď, a v jiných - jako galéra, která je opravdu nádherná; někdy je galéra kvalitně zpracovaná a vybavená veškerým příslušenstvím - je vyskládána z čísel tak, aby se skutečně jevila v podobě galéry se zádí a přídí, stěžněm, plachtami a vesly.

Původní text  (italsky)[ zobrazitskrýt] Il secondo modo di partire, è detto in Venetia per batello, ouer per galea for certe podobnosti di figure, che di tal atto resultano, perche in la partitione di alcune specie di numeri nasce vna certa figura alla similitudine di vno batello, v alcuni altri, vna figura simile a vna galea legno maritimo, perche in effetto il pare vna gentilezza a vedere, v alcune specie di numeri vna galea ben lauorata, & tratteggiata con li suoi, intratalneersamentiche dispositione paiono veramente vna figura simile alla detta galea materiale, con la proua, poppa, albero, vela, & remi, come che nel processo si vedra manifesto [1] :32 .

Je zajímavé poznamenat, že metoda inkoustových galejí byla přivezena zpět do Číny z Evropy a publikována v pojednání o evropské aritmetice 1613 [4] .

V Rusku se metoda galeje používala až do poloviny 18. století: v „Aritmetice“ od Leontyho Magnitského je popsána mezi šesti tam navrhovanými metodami dělení a je zvláště doporučena autorem; po celou dobu prezentace materiálu své knihy Magnitsky používá především metodu galeje, aniž by uvedl samotný název [6] :41,42 .

Konkurovat metodě galér byla tzv. „italská metoda“ [3] (nebo „zlaté dělení“ [5] ), která je dnes známá jako dělení sloupců . Tato metoda se objevila v tisku v roce 1491 v „Aritmetice“ [8] Calandri , i když ještě dříve byla nalezena v rukopisech z 15. století [3] . V něm byl dílčí produkt výslovně vypočítán a zapsán pod dividendu, poté odečten od dividendy a výsledek byl zapsán níže. Odečítání se provádělo jako v obvyklém sloupcovém sčítání , počínaje od nejméně významných číslic, což umožnilo ušetřit na záznamu, ale zároveň bylo nutné pamatovat na přenos výboje v mysli [3] . Hlavní výhodou této metody je, že všechny akce jsou viditelné z jejího záznamu – to usnadňuje kontrolu výpočtů a rychlou opravu chyb. Nevýhodou této metody však je, že je v ní potřeba násobit víceciferná čísla jednocifernými [5] .

Následně se objevila zkrácená metoda dělení („rakouská metoda“). Byla podobná italštině, ale na rozdíl od ní v ní, stejně jako v galérní metodě, nebyly dílčí produkty explicitně počítány - byly okamžitě odečítány kousek po kousku. Na rozdíl od galerní metody se však odčítání provádělo od nejméně významných číslic, což umožnilo ušetřit na záznamu. Tato metoda tedy spojila výhody galejní metody a italské metody [3] . Nevýhodou této metody je, že kalkulačka potřebuje v mysli uložit více informací.

Všechny tyto metody soutěžily v Evropě s „dělením železa“: metodou dělení na počítadle , kterou popsal matematický mnich Herbert (budoucí papež Silvestr II.) [5] .

Esence metody

Metoda galley, i když je obtížnější psát, je podobná moderní metodě dělení sloupcem . Stejně jako při dělení sloupcem se podíl počítá po číslicích, počínaje nejvýznamnější číslicí: v každém kroku se vybere jedna číslice podílu. Největší číslice se považuje za soukromou číslici, takže dílčí součin (součin této číslice a dělitele posunutého o odpovídající počet číslic) lze odečíst od dividendy, přičemž zůstane v kladných číslech. Poté se od děliče odečte dílčí součin, samotný dělitel se posune o jeden bit doleva a proces se opakuje. Na rozdíl od moderního dělení sloupcem se v galérní metodě dílčí součin nepočítá a odečítání probíhá po číslicích zleva doprava. Také v galérové ​​metodě je výsledek odčítání zapsán nahoře, nikoli dole.

Příklad

Uvažujme příklad z Treviso Arithmetic (1478), ve kterém je 65284 děleno 594 [4] . Příklad je rozdělen do několika kroků: v každém kroku jsou čísla přidaná v tomto kroku tučně a čísla, která jsou přeškrtnuta, jsou kurzívou. Pro snazší vnímání jsou čísla, se kterými se akce provádějí, barevně zvýrazněna, ve skutečnosti byla v metodě použita pouze jedna barva inkoustu.

Nejprve byl pod dividendu ( 65284 ) zapsán dělitel ( 594 ):

65284 594

Krok 1: Dělitel 594 zadá 652 pouze jednou . Takže první číslice podílu je 1 . Zapíšeme ji vpravo a od dividendy odečteme 1 × 594 (posunuté o dvě číslice). V metodě z kuchyně se to dělá zleva doprava: nejprve se od odpovídajících číslic odečte první číslice (5), poté druhá číslice (9) a nakonec poslední číslice (4).

    652 84 | 1 594

Krok 1 : 594 jednou zadá
652 .

  1 6 5284 | 1 5 94

Krok 1a: 6 − 5 = 1

  1 6 6 5 284 | 1 5 9 4

Krok 1b: 15 − 9 = 6

5 1 6 8 65 2 84 | 1 59 4

Krok 1c: 62 − 4 = 58

Krok 2: Posuňte dělitele o jeden bit doprava ( anterioratio ). Protože výsledný dělitel posunutí ( 594 ) je větší než zbytek z děliče ( 588 ...), nemůžeme dělitele odečíst ani jednou, což znamená, že druhá číslice podílu je 0 :

5 16 8 652 8 4 | 1 0 594 4 59

Krok 2: 594 přejde
na 588 nula krát.

Krok 3: Posuňte dělitele o jeden bit doprava. Nyní potřebujeme odečíst 594 od 5884 . To lze provést 9krát . Napište 9 jako podíl a odečtěte 9 × 594 od dividendy . V tomto případě nepočítáme 9 × 594 , ale jednoduše odečteme 9 × 5 , 9 × 9 a 9 × 4 od odpovídajících číslic.

  5 16 8 652 84  | 10 9 5944 4 59 9 5

Krok 3: 594 přejde
do 5884 devětkrát .

1 5 3 16 8 652 84 | 10 9 5944 4 59 9 5

Krok 3a: 58 − 9 × 5 = 13

1 5 5 3 168 7 652 8 4 | 109 59444 59 9 5

Krok 3b: 138 − 9 × 9 = 57

1 5 53 3 168 7 8 6528 4  | 10 9 5944 4 599 5

Krok 3c: 74 − 9 × 4 = 38

Odpověď: dělením 65284 594 získáme podíl 109 a zbytek je 538 .

1 5 53 3 1687 8 65284  | 109 59444 599 5

Kompletní výsledek výpočtu

Srovnání s jinými metodami

Pro srovnání uvádíme stejné dělení, prováděné s mazáním čísel, dále italské a rakouské metody [3] . Jak bylo uvedeno výše, tyto metody se liší ve způsobu odečítání dílčího součinu. Například v posledním kroku se odečte dílčí součin 9×594. V italské metodě se nejprve vypočítá 9×594=5346 a poté se odečte výsledek. V metodě galerky a v metodě s vymazávacími číslicemi se součin nepočítá, ale odečítá se postupně: 9×500, 9×90, 9×4. Přitom u metody s mazáním čísel se výsledek zapíše na místo odečteného a u galérky se napíše nahoru a stará čísla se přeškrtnou. Konečně, v rakouské metodě se součin také nepočítá, ale postupně se odečítá: 9×4, 9×90, 9×500. Protože odčítání začíná nižšími bity, v každém kroku se zapíše pouze jeden bit a nejvýznamnější bit se přenese, což vám umožňuje zkrátit zápis, ale vyžaduje, abyste si zapamatovali přenos ve své mysli.


Metoda mazání číslic

65284 |  594  594 | 109 5884 5346 538

Italská metoda

65284 |  594  5884 | 109 538    

Rakouská metoda

Možnosti

Žádná přeškrtnutá čísla

Někdy čísla nebyla přeškrtnuta. V tomto případě byly brány v úvahu pouze nejvyšší a nejnižší číslice. V tomto případě byly místo přeškrtnutí napsány nuly v horní části sloupce. Viz ilustrace na začátku článku.

S výpočtem dílčích produktů

Někdy se počítaly dílčí produkty. Tato možnost se prakticky neliší od moderního rozdělení sloupcem. Jediný rozdíl je v tom, kde jsou čísla zapsána: metoda galeje spotřebovává méně papíru, protože čísla jsou psána kompaktněji, bez prázdného prostoru mezi nimi. Ale při dělení sloupcem jsou výpočty viditelnější a snáze kontrolovatelné.

Jako příklad této možnosti zvažte dělení 44977 číslem 382 [2] . Jedno číslo odpovídá obdržení jednoho desetinného místa podílu.

1) 67 (Násobení: 1 x 382 = 382 ) 382 | 449 77 | 1 (rozdíl: 449 − 382 = 67 ) 382 2) 29 (Násobení: 1 x 382 = 382 ) 67 5 (Rozdíl: 677 − 382 = 295 ) 382 | 449 7 7 | 1 1 382 2 38 3) 2 (Násobení: 7 x382= 2674 ) 29 8 (Rozdíl: 2957 − 2674 = 283 ) 67 5 3 382 | 44977 | _ 11 7 Odpověď: Soukromé 117 , zbytek 283 . 3822 4 38 7 26


Kontrola divizí

Existovala metoda pro kontrolu zbytků dělení malým číslem. Nejčastěji se používala metoda kontroly po zbytcích 9 , protože zbytek při dělení 9 lze velmi snadno najít: stačí najít součet číslic čísla. Tato metoda ověření však nezachytila ​​běžné chyby, když číslice spadla na špatné místo. Proto byly také použity spolehlivější, ale komplikovanější metody: kontrola zbytků na 7 nebo 11.

Podstata metody je následující. Předpokládejme, že když číslo vydělíme , dostaneme neúplný podíl a zbytek . To znamená, že . Pro kontrolu této rovnosti byly vypočteny zbytky , , a pro malé číslo (například 9). Nechť tyto zbytky jsou , , a , v tomto pořadí . Pak a musí mít stejný zbytek.

Tyto zbytky byly zapsány ve formě „vlajky“: Někdy se místo křížku + používal křížek × .

Například Niccolo Tartaglia [1] :34 při dělení 912345 rokem 1987 dostal 459 a 312 ve zbytku. Aby to ověřil, vzal zbytky těchto čísel při dělení sedmi: 912 345 dává zbytek 0, 1987 dává 6, 459 dává 4, 312 dává 4. Tartaglia to zapíše jako Pak zkontroluje, že je dělitelné sedmi pomocí zbytek 0. Výsledek tedy prošel testem [9] .

Extrakce kořenů

Podobná metoda byla použita k extrakci kořenů . Stejně jako u dělení byla odpověď v číslicích.

Pro extrakci druhých odmocnin v každém kroku byla od čísla odečtena druhá mocnina již získané částečné odpovědi. K tomu byl použit vzorec . Totiž, pokud je v některém kroku k částečné odpovědi přiřazena číslice (tj. nová částečná odpověď ), pak musíme od původního čísla odečíst . Ale to už jsme odečetli v předchozím kroku. Musíme tedy odečíst . K tomu se v galérní metodě zapsalo číslo níže, číslo vpravo a pak se odečetl dílčí součin jako v obvyklé metodě [11] .

Při extrakci kořenů vyšších stupňů se používal Newtonův binom , který byl znám ještě před Newtonem [12] .

Poznámky

  1. ↑ 1 2 3 Nicolo Tartaglia . Kniha první // General trattato di numeri, et misure. — Vinegia : Curtio Trojano de i Navo, 1556.
  2. ↑ 1 2 Carl B. Boyer, Uta C. Merzbach. Historie matematiky . — John Wiley & Sons, 25.01.2011. — 680 s.
  3. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 Leland Locke. Čistá matematika // Věda-historie vesmíru / Francis Rolt-Wheeler (vedoucí redaktor). New York: Current Literature Pub. Co.. - sv. VIII. — 354 s. - S. 48-52. Archivováno 19. února 2020 na Wayback Machine
  4. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 Lam Lay-Yong. O čínském původu Galley Method of Aritmetical Division  (anglicky)  // The British Journal for the History of Science. - 1966/06. — Sv. 3 , iss. 1 . - str. 66-69 . - doi : 10.1017/S0007087400000200 . Archivováno z originálu 10. dubna 2019.
  5. ↑ 1 2 3 4 5 Encyklopedie pro děti . T. 11. Matematika / Kapitola. vyd. M. D. Aksjonová. - M .: Avanta+, 1998. - S. 132-134. — ISBN 5-89501-018-0 .
  6. ↑ 1 2 3 Perelman Ya. I. Zábavná aritmetika. - 8. vyd. - M .: Detgiz , 1954. - 100 000 výtisků.
  7. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 8 B. Datta , AN Singh. Část I: Numerická notace a aritmetika // Historie hinduistické matematiky: Zdrojová kniha . - 1962. - S. 150.
  8. ↑ Filippo Calandri. Aritmetica  (italsky) / Lorenzo Morgiani a Johann Petri. — 1491.
  9. ↑ Florian Cajori. Historie matematických notací . — Courier Corporation, 2013-09-26. - S. 260-261. — 865 s.
  10. ↑ Nicolo Tartaglia . Kniha druhá // General trattato di numeri, et misure. - Vinegia : Curtio Trojano de i Navo, 1556. - S. 28.
  11. ↑ Graham Flegg. Čísla: Jejich historie a význam . — Courier Corporation, 2013-05-13. - S. 133. - 307 s.
  12. ↑ David E. Smith. Dějiny matematiky . — Courier Corporation, 1958-06-01. - S. 148. - 739 s.