Metoda hraničních prvků

Metoda hraničních prvků ( Potenciální metoda , metoda okrajových integrálních rovnic ) je metoda řešení okrajové úlohy, při které se díky použití Greenových vzorců redukuje na integrální rovnici na hranici výpočtové oblasti (většina často k (zobecněné) Fredholmově integrální rovnici druhého druhu).

Původně se používala při řešení Dirichletových úloh, Neumann - Laplaceova rovnice [1] .

Poté dostal zobecnění pro rovnice teorie pružnosti. Jedním z analogů Greenových vzorců v teorii pružnosti jsou Bettyho vzorce (elastické potenciály založené na Kelvinově-Somilianově řešení) [2] . Další použitý Weyl (anténní potenciál) [3] .

VD Kupradze zobecnil formulaci pro okrajové úlohy v teorii kmitání a dalších. [4] [5] [6]

Výhody

V 80. letech byla metoda hraničních prvků ( BEM ) považována za možnou konkurenci metodě konečných prvků (MKP). Hlavní výhodou oproti MKP je přesné splnění původní diferenciální rovnice v rámci výpočetní oblasti. V problémech s nekonečnou hranicí má BEM výhodu díky snadnému posouzení.

Nevýhody

Nevýhody tradiční formulace metody jsou:

• Jsou uvažovány okrajové podmínky stejného typu buď Dirichlet nebo Neumann , smíšený problém není uvažován. (Není těžké napsat rovnice smíšených úloh, ale nemají žádnou teorii řešení.)
• Okraj by měl být hladký. (Singulární integrály získané řešením Neumannovy úlohy neexistují v rohových bodech po částech hladké hranice.)
• Matice výsledného systému lineárních algebraických rovnic (SLAE), která nahrazuje integrální, je zcela vyplněna, na rozdíl od MKP, ve kterém obsahuje velké množství nul (ačkoli v MKP je matice větší o jednotku rozměru, protože mřížka prvků je aplikována na celou oblast, nikoli pouze na ohraničení).

Obtíže

Technickou složitost MGE lze také připsat nevýhodám:

• Výpočet singulárních integrálů představuje obtíž. Lze je vypočítat například pomocí Stokesova vzorce po nahrazení hranice sadou plochých prvků. Nebo s pomocí jejich pravidelného zastoupení (Perlin P.I.).
• Řešení (zobecněné) Fredholmovy rovnice druhého druhu jsou na hranici kruhu konvergence. To znamená, že buď rovnice samotná, nebo její příbuzné má svá vlastní řešení (nenulová řešení s nulovou pravou stranou). Což zejména neumožňuje hledat řešení externího Dirichletova problému založeného na potenciálu dvou vrstev, protože podmínku řešitelnosti nelze formulovat – v obecném případě je vlastní funkce sjednocovací rovnice neznámá. (Přestože původní problém má jedinečné řešení, dvouvrstvý potenciál nesplňuje "podmínku záření" [1] .) Způsob přechodu na upravené rovnice je znám. (Nepřejdeme-li k nim, pak například při řešení vnitřního Neumannova problému má determinant matice SLAE tendenci k nule, protože charakteristický rozměr sítě hraničních prvků klesá.)

Obtížnost metody lze odhadnout přečtením Shermanovy předmluvy k D. I. až [2] .

Obecně

• Dá se říci, že v rámci tradiční formulace Dirichletových a Neumannových problémů (a odpovídajících teorií pružnosti) pro hladkou hranici jsou úspěšně řešeny. Můžete použít analytickou integraci (ne vždy racionální z hlediska spotřeby strojních zdrojů) a metodu postupných aproximací řešení SLAE (založené na modifikovaných rovnicích), jejichž konvergenci lze dokázat teorie Fredholmova integrálu se používají rovnice druhého druhu.
• Vzhledem ke složitosti implementace a omezenému rozsahu aplikace zájem o metodu poklesl. Alespoň, jak se očekávalo, se nestal náhradou za MKP.
• Existuje velké množství produkcí, které se od těch tradičních liší. Včetně těch případů, kdy neexistuje žádná matematická teorie, ale rovnice lze zapsat. Například řešení založené na Fredholmově rovnici prvního druhu, u kterého je nutné provést regularizaci, jinak je problém špatně položen (při nepatrné změně na pravé straně se řešení výrazně změní). Smíšený problém, kde je třeba počítat s možným výskytem neohraničené derivace požadované funkce v blízkosti bodu změny okrajových podmínek i pro hladkou hranici. Zobecnění pro hladkou hranici po částech (v rovinném případě) lze provést pomocí rovnic pro hladkou hranici zavedením váhových funkcí získaných studiem asymptotiky řešení pro klín.
• V zahraničí existuje komunita výzkumníků MGE - viz: " metoda hraničních prvků "; přeložená kniha: [7] Vycházejí tematické časopisy.
• Vývoj metody na konci sovětské éry lze posoudit v [8] .
• Seznam rovnic, pro které byla metoda formulována, lze nalézt v [9] . (Formulace uvedená v knize se liší od tradiční, kterou vytvořil Kupradze v posledních letech svého života, má značné nedostatky související se správností problémového prohlášení, které je v knize zmíněno.)

Poznámky

1. ↑ 1 2 Sretenský L. N. Teorie newtonského potenciálu.- M .: Stát. Nakladatelství technické a teoretické literatury, 1946, 318 s.
2. ↑ 1 2 Parton V. Z., Perlin P. I. Integrální rovnice teorie pružnosti. - M .: Nauka, 1977, 312 s.
3. ↑ Weil G. Matematika. Teoretická fyzika. M.: Nauka, 1984. -510 s.
4. ↑ Kupradze V. D. Okrajové úlohy teorie kmitů a integrálních rovnic. - M .: Stát. Nakladatelství technické a teoretické literatury, 1950, 280 s.
5. ↑ Kupradze V.D. Potenciální metody v teorii elasticity, M.: Gos. Nakladatelství technické a teoretické literatury, 1963, 472 s.
6. ↑ Kupradze V. D. Trojrozměrné problémy matematické teorie pružnosti a termoelasticity, M.: Nauka, 1976, 664 s.
7. ↑ Katsikadelis John T. Hraniční prvky: Teorie a aplikace. - M: DIA Publishing House, 2007 (Překlad knihy: John T. Katsikadelis Hraniční prvky: Teorie a aplikace, Oxford: Elsever, 2002, 336 c.)
8. ↑ Mazya V.G. Okrajové integrální rovnice. — Výsledky vědy a techniky. Ser. Moderní prob. rohož. Fundam. Pokyny. T.27. - 1988. - S. 131-228.
9. ↑ Aleksidze M.A. Základní funkce v přibližném řešení okrajových úloh — M. : Nauka, Ch. ed.fyz.-matematika. lit., 1991. - 352 s.