Metoda vyčerpání

Metoda vyčerpání ( lat.  methodus vyčerpávání ) je starověká matematická metoda určená ke studiu oblastí křivočarých geometrických obrazců nebo objemů geometrických těles . Myšlenku metody, v nepříliš jasných termínech, vyjádřil Antiphon , vývoj a aplikaci však provedl Eudoxus z Cnidus .

Název „metoda vyčerpání“ navrhl v roce 1647 Grégoire de Saint-Vincent , ve starověku tato metoda neměla zvláštní název. Odůvodnění této metody se nespoléhá na koncept infinitezimálů , ale implicitně zahrnuje koncept limity . Zdokonalení metody vyčerpání následně vedlo k integrálnímu počtu .

Popis metody

Metoda byla následující: pro zjištění plochy (nebo objemu) určitého obrazce byla do tohoto obrazce vepsána monotónní posloupnost dalších obrazců a bylo prokázáno, že jejich plochy (objemy) se neomezeně přibližují ploše (objemu) požadovaného obrazce. postava. Poté byla vypočtena limita posloupnosti ploch (objemů), pro kterou byla vyslovena hypotéza, že se rovná nějakému A a bylo dokázáno, že opak vede k rozporu [1] . Protože neexistovala žádná obecná teorie limit (Řekové se vyhýbali pojmu nekonečno), všechny tyto kroky včetně zdůvodnění jedinečnosti limity se u každého problému opakovaly.

V této podobě metoda vyčerpání dobře zapadala do přísně deduktivní konstrukce starověké matematiky, měla však několik významných nedostatků. Za prvé, byl výjimečně objemný. Za druhé, neexistovala žádná obecná metoda pro výpočet mezní hodnoty A; Archimédes to například často odvodil z mechanických úvah nebo jednoduše intuitivně odhadl. Nakonec tato metoda není vhodná pro hledání oblastí nekonečných obrazců.

Odůvodnění

Teoretický základ Eudoxovy metody vyčerpání je uveden v X. knize Euklidových prvků . Zde je formulováno hlavní lemma [2] :

Tvrzení 1. Pro dvě dané nestejné hodnoty, pokud se více než polovina odečte od větší a více než polovina od zbytku, a to se děje neustále, pak zůstane nějaká hodnota, která bude menší než daná menší hodnota.

Toto je jedna z mála teorémů obecné teorie limit dané starověkými autory. V 10. století Thabit ibn Qurra navrhl zobecnění tohoto lemmatu a nahradil „polovinu“ „libovolnou částí“.

Pomocí metody vyčerpání Eudoxus důsledně prokázal řadu již známých objevů v těchto letech (plocha kruhu , objem pyramidy a kužele ). Euclid ve svých Prvcích použil metodu vyčerpání k prokázání šesti teorémů z Knihy 12:

• Věta 2 (o ploše kruhu);
• věta 5 (o objemu čtyřstěnu );
• věty 10-12 (o objemech kužele a válce );
• Věta 18 (o závislosti objemu koule na jejím poloměru).

Aplikace

Nejplodnější metoda vyčerpání se stala v rukou vynikajícího následovníka Eudoxa, Archiméda , který ji dokázal výrazně vylepšit a dovedně aplikovat na mnoho nových objevů. Zejména zjistil následující:

• plocha povrchu koule se rovná čtyřnásobku plochy průřezu velkého kruhu této koule;
• plocha segmentu paraboly odříznutého od něj přímkou ​​je 4/3 plochy trojúhelníku vepsaného do tohoto segmentu;
• objem koule je 2/3 objemu válce, který je kolem ní opsán [3] .

Ve středověku používali metodu vyčerpání i evropští matematici, dokud ji nevytlačila nejprve výkonnější a technologická metoda nedělitelných a poté kalkulu .

Viz také

• Kvadratura (matematika)

Literatura

• Bashmakova I. G. Přednášky o dějinách matematiky ve starověkém Řecku // Historický a matematický výzkum . - M .: Fizmatgiz , 1958. - č. 11 . - S. 323-346 .
• Historie matematiky. Ve 3 svazcích / Ed. A. P. Juškevič . - M .: Nauka, 1970. - T.I.
• Nikiforovský V. A. Cesta k integrálu. — M.: Nauka, 1985.

Poznámky

1. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , s. 333-335.
2. ↑ Euklidovské počátky / Překlad z řečtiny a komentáře D. D. Mordukhai-Boltovského za redakční účasti M. Ya. Vygodského a I. N. Veselovského. - M. - L. : GTTI, 1948. - T. II. - S. 102.  (nepřístupný odkaz)
3. ↑ Archimédova věta o kouli a válci . Získáno 3. července 2019. Archivováno z originálu dne 26. června 2019. (neurčitý)

Slovníky a encyklopedie	velká čínština Velký Rus Britannica (online)