Metoda předání

Sedlová metoda je metoda používaná k aproximaci integrálů tvaru

\int \limits _{\gamma }\Phi (z)e^{\lambda \phi (z)}\,dz,

kde jsou některé meromorfní funkce , je nějaké velké číslo a obrys může být nekonečný. Tato metoda je často označována jako zobecnění Laplaceovy metody . $\Phi (z),\phi (z)$ $\lambda$ $\gamma \in {\mathbb {C}}$

Algoritmus řešení

Snižte integrál na . $I(\lambda )=\int \limits _{\gamma }\Phi (z)e^{\lambda \phi (z)}\,dz$
Protože když je chování určeno exponentem, je nutné funkci prozkoumat následovně : $\lambda \to \infty$ $já (\lambda )$ $\phi (z)$
1. Najděte body sedla , tedy takové body , kde platí vztah . $\phi '(z)=0$
2. Sestrojte linie nejstrmějšího poklesu.
Deformujte obrys podél čar nejrychlejšího poklesu. $\gamma$
Získejte asymptotiku integrálu pomocí Laplaceovy metody .

Příklad: Airy function asymptotics

Funkce Airy je dána následujícím integrálem:

I(z)=\int \limits _{\gamma }\exp \left(pz-{\frac {p^{3}}{3}}\right)\,dp.

Jako obrys použijeme obrys znázorněný na obrázku vpravo. Udělejme náhradu a dostaneme: $\gamma$ $p={\sqrt {z}}s$

I(z)={\sqrt {z}}\int \limits _{\gamma }\exp \left[z^{3/2}\left(s-{\frac {s^{3} }{3}}\right)\right]\,ds.

Tím jsme získali potřebný tvar integrálu s funkcí . Body sedla se tedy rovnají: . $\phi (s)=s-{\frac {s^{3}}{3}}$ $s=\pm 1$

Z Cauchy-Riemannových podmínek vyplývá, že v sedlových bodech se křivky nejrychlejšího nárůstu a nejrychlejšího poklesu protínají v pravém úhlu a nemohou se protínat nikde kromě sedlových bodů. Z těchto jednoduchých úvah je lze jednoznačně postavit. Křivky nejstrmějšího poklesu jsou znázorněny na obrázku (šipky ukazují směr růstu).

Aby bylo možné pomocí Laplaceovy metody najít asymptotiku tohoto integrálu, je nutné deformovat obrys podél křivek nejrychlejšího poklesu lineárními transformacemi. Protože na těchto křivkách je dosaženo globálního maxima funkce , můžeme uvažovat pouze její malé okolí. Proto rozšiřujeme funkci v Taylorově řadě v blízkosti sedlového bodu : $\gamma$ $\phi (s)$ $\phi (s)$

Knihy

Fedoryuk M. V. Metoda pass . - 1977. - S. 366 .
A. I. Prilepko, D. F. Kaliničenko. Asymptotické metody a speciální funkce. - M. : MEPhI, 1980. - S. 107.
A. G. Sveshnikov, A. N. Tichonov. Teorie funkcí komplexní proměnné. - 5. vyd. - M. : Nauka, Fizmatlit, 1999. - S. 319. - ISBN 5-02-015233-1 .

Metoda předání

Algoritmus řešení

Příklad: Airy function asymptotics

Knihy

Viz také