Napierovo mnemotechnické pravidlo

Napierovo mnemotechnické pravidlo je forma zápisu základních poměrů do pravoúhlého sférického trojúhelníku , snadno zapamatovatelného.

Formulace a odůvodnění pravidla

Formulace

Napierovo mnemotechnické pravidlo lze formulovat následovně [1] :

Pro tři sousední prvky pravoúhlého sférického trojúhelníku je kosinus prostředního prvku roven součinu kotangens sousedních prvků a pro tři nesousední prvky je kosinus prvku umístěného odděleně od ostatních dvou rovnající se součinu jejich sinů. V tomto případě se místo nohou berou jejich doplňky až do 90 stupňů a pravý úhel se vůbec nepovažuje za prvek.

Dva příklady:

\cos B=\mathrm {ctg} \,{\overline {a}}\,\mathrm {ctg} \,c=\mathrm {ctg} \,(90^{\circ }-a)\ mathrm {ctg} \,c={\frac {\mathrm {tg} \,a}{\mathrm {tg} \,c))

\cos B=\sin {\overline {b))\sin A=\sin(90^{\circ }-b)\sin A=\cos b\sin A

Aby bylo použití pravidla pohodlnější, nakreslete kružnici, rozdělte ji na pět částí poloměry a zapište do nich všechny prvky pravoúhlého sférického trojúhelníku, s výjimkou pravého úhlu, v pořadí, ve kterém jsou umístěny v trojúhelníku. Každá noha je označena vodorovnou čarou nad ní nebo apostrofem vedle ní - znak doplňku nohy do 90 stupňů. Je snadné najít správné tři prvky na kruhu a aplikovat na ně mnemotechnické pravidlo.

Odůvodnění

Dokažme jeden vzorec pro tři sousední prvky pravoúhlého kulového trojúhelníku a jeden vzorec pro dva sousední a jeden samostatný prvek [2] , a pak doložme Napierovo mnemotechnické pravidlo (a zároveň dokažme vzorce samotné), které dává všech deset takových vzorců pro pravoúhlý sférický trojúhelník , platí pro tyto dva vzorce, po Lambertovi, hvězdicovém pětiúhelníku [3] .

Vezměme dvě nohy a a b (sousední prvky) a přeponu c (samostatný prvek). Spojuje je sférická Pythagorova věta , což je dokázáno v článku o ní. V tomto případě tedy není prakticky co dokazovat. To jen bereme na vědomí

\cos c=\cos a\cos b=\sin(90^{\circ }-a)\sin(90^{\circ }-b)=\sin {\overline {a))\sin {\overline {b)),

to znamená, že pro tyto tři prvky platí Napierovo mnemotechnické pravidlo. Nyní odvodíme vzorec pro tři sousední prvky. Vezměte přeponu c, rameno a a úhel B. Stejně jako v důkazu sférické Pythagorovy věty uvažujme trojstěnný úhel OA 1 B 1 C 1 se stranami (paprsky) OA 1 , OB 1 , OC 1 a vrcholem v bod O, odpovídající danému pravoúhlému sférickému trojúhelníku ABC.

všimněte si, že

{\frac {A_{1}B_{1}}{B_{1}O}}=\mathrm {tg} \,\úhel A_{1}OB_{1}=\mathrm {tg} \, C,

{\frac {C_{1}B_{1}}{B_{1}O}}=\mathrm {tg} \,\úhel B_{1}OC_{1}=\mathrm {tg} \, A,

{\frac {C_{1}B_{1}}{A_{1}B_{1}}}=\cos \angle A_{1}B_{1}C_{1}=\cos B.

Odtud

\mathrm {tg} \,a={\frac {C_{1}B_{1}}{B_{1}O}}={\frac {A_{1}B_{1}}{B_{ 1}O}}\cdot {\frac {C_{1}B_{1}}{A_{1}B_{1}}}=\mathrm {tg} \,c\cos B,

\cos B={\frac {\mathrm {tg} \,a}{\mathrm {tg} \,c}}=\mathrm {ctg} \,(90^{\circ }-a)\ mathrm {ctg} \,c=\mathrm {ctg} \,{\overline {a}}\,\mathrm {ctg} \,c,

to znamená, že pro tyto tři prvky platí Napierovo mnemotechnické pravidlo. Oba vzorce jsou osvědčené. Zbývá použít hvězdný pětiúhelník.

Na obrázku jsou přídavky prvků do 90 stupňů označeny apostrofy. Tento hvězdicový pětiúhelník je zkonstruován následovně. Na kouli je nakreslen daný sférický trojúhelník ABC, jehož vrcholy A a B jsou prvními dvěma vrcholy pětiúhelníku. Dále nakreslíme poláry bodů A a B, bod jejich průsečíku, ležící na druhé straně přepony c od vrcholu C, bude třetím vrcholem pětiúhelníku a dva průsečíky těchto polár s pokračováním stran a a b budou další dva vrcholy pětiúhelníku. Rozšíření stran pětiúhelníku se protínají a tvoří pět kulových trojúhelníků. Je snadné vidět, že každý vrchol pětiúhelníku je pól pro svou opačnou stranu. Všech pět kulových trojúhelníků bude tedy pravoúhlých. Odtud jsou také získány hodnoty všech jejich prvků, uvedené na obrázku.

Pro sférický trojúhelník ABC byly výše prokázány dva vzorce Napierova mnemotechnického pravidla. Prvky každého dalšího pravoúhlého kulového trojúhelníku ve směru hodinových ručiček odpovídají prvkům předchozího, otočeného o 2/5 celé otáčky, nebo jejich doplňkům až o 90 stupňů. Postupnou aplikací získaných dvou vzorců na odpovídající prvky každého trojúhelníku tedy získáme všech 10 vzorců a pro všechny stejnou formu Napierova mnemotechnického pravidla.

Historie

Napierovo mnemotechnické pravidlo je pojmenováno po Johnu Napierovi , který je publikoval ve svém slavném díle „Popis úžasné tabulky logaritmů“ (1614), a citoval jej jako ukázku aplikace nového matematického konceptu, který v této práci definoval. logaritmus a obě části rovnosti v mnemotechnických Napierových pravidlech jsou prologaritmické. Elegantní a názorné matematické zdůvodnění Napierova mnemotechnického pravidla pomocí hvězdicového pětiúhelníku podal Johann Lambert ve své práci „Doplňky k aplikaci matematiky a jejich aplikace“, publikované v roce 1765 [3] . Později hvězdicový pětiúhelník na kouli použil k doložení stejných (pravděpodobně se o tom v Lambertově díle nedočetl) a dalších vlastností Carl Gauss , Gauss jej nazval „báječným pentagramem“ ( lat. pentagramma mirificum ) [4]. .

Zdůvodnění pomocí hvězdicového pětiúhelníku vztahů v pravoúhlém sférickém trojúhelníku se ukázalo jako poněkud univerzální metoda: Nikolaj Lobačevskij použil posloupnost pěti pravoúhlých trojúhelníků k odvození vztahu mezi prvky pravoúhlého trojúhelníku. v prostoru , který studoval , později indický matematik S. Mukopadiaya spojil tuto sekvenci s pětiúhelníkem ve stejném prostoru a ještě později ruský matematik Alexander Norden vytvořil spojení mezi hvězdicovým pětiúhelníkem na kouli a zmíněným pětiúhelníkem v Lobačevského prostor [3] .

Poznámky

↑ Štěpánov N.N. Napierovo mnemotechnické pravidlo // Sférická trigonometrie . - M. - L .: OGIZ , 1948. - S. 48 -49. — 154 str.
↑ Štěpánov N.N. Sférická trigonometrie. - M. - L .: OGIZ , 1948. - 154 s.
↑ 1 2 3 B. L. Laptev. Lambert je geometr. // Historický a matematický výzkum . - M . : Nauka , 1980. - č. 25 . - S. 248-252 .
↑ Magnus J. Wenninger. Modely mnohostěnů . - Cambridge University Press , 1974. - C. xi. — 228 s.

Sférická trigonometrie
Základní pojmy	sférický trojúhelník polární trojúhelník Přebytek Bigon
Vzorce a poměry	Kosinové věty Sinusová věta Pětiprvkový vzorec Vzorec poloviční strany Napierovo mnemotechnické pravidlo Sférická Pythagorova věta Delambre vzorce Napierovy analogické vzorce Legendreova věta Řešení trojúhelníků
související témata	Sférický souřadnicový systém sférická geometrie trojboký úhel