Upravená Z-transformace

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 20. března 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Modifikovaná (posunutá) Z-transformace je obecnějším případem obvyklé Z-transformace , obsahující ideální zpoždění, které je násobkem vzorkovací frekvence . Matematicky napsáno jako:

{\displaystyle F(z,m)=\sum _{k=0}^{\infty }f(kT+m)z^{-k))

kde

T - perioda vzorkování
m („parametr offsetu“) – část periody vzorkování $[0,T).$

Modifikovaná Z-transformace je široce používána v teorii řízení, zejména pro přesnější modelování systémů se zpožděním.

Vlastnosti

Pokud je parametr offsetu m pevný, pak všechny vlastnosti modifikované z-transformace jsou stejné jako vlastnosti normální Z-transformace.

Linearita

Z\left[\sum _{k=1}^{n}c_{k}f_{k}(t)\right]=\sum _{k=1}^{n}c_{k} F(z,m).

Timeshift

Z\left[u(t-nT)f(t-nT)\right]=z^{-n}F(z,m).

Oslabení

Z\left[f(t)e^{-a\,t}\right]=e^{-a\,m}F(e^{a\,T}z,m).

Násobení argumentu

Z\left[t^{y}f(t)\right]=\left(-Tz{\frac {d}{dz}}+m\right)^{y}F(z,m) .

Věta o konečné hodnotě

\lim _{k=\infty }f(kT+m)=\lim _{k=1+}F(z,m).

Tabulka základních transformací

f(t)	F(z, m)
1 (t)	${\frac {z}{z-1}}$
t	${\frac {zmT}{z-1}}+{\frac {zT}{(z-1)^{2}}}$
e -at	${\displaystyle {\frac {ze^{-amT}}{ze^{-aT))))$
1-e- at	${\frac {z}{z-1}}-{\frac {ze^{-amT}}{ze^{-aT}}}$
sin ωt	${\frac {z^{2}\sin {(m\omega T)}+z\sin {[(1-m)\omega T]}}{z^{2}-2z\cos { \omega T}+1}}$

Příklad

Nechte originál převést . Pak: $f(t)=\cos(\omega t)$

F(z,m)=Z\left[\cos \left(\omega \left(kT+m\right)\right)\right]

F(z,m)=Z\left[\cos(\omega kT)\cos(\omega m)-\sin(\omega kT)\sin(\omega m)\right]

F(z,m)=\cos(\omega m)Z\left[\cos(\omega kT)\right]-\sin(\omega m)Z\left[\sin(\omega kT) \že jo]

F(z,m)=\cos(\omega m){\frac {z\left(z-\cos(\omega T)\right)}{z^{2}-2z\cos(\ omega T)+1}}-\sin(\omega m){\frac {z\sin(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1}}

F(z,m)={\frac {z^{2}\cos(\omega m)-z\cos(\omega (Tm))}{z^{2}-2z\cos(\ omega T)+1}}.

Jestliže , pak se shoduje s Z-transformací: $m=0$ $F(z,m)$

F(z,0)={\frac {z^{2}-z\cos(\omega T)}{z^{2}-2z\cos(\omega T)+1))

Zpracování digitálních signálů
Teorie	Signál diskrétní signál Kotelnikovova věta Teorie statistických odhadů Teorie detekce signálu
Pododdíly	Digitální zpracování audio signálu Teorie automatického řízení Digitální zpracování obrazu Zpracování řeči Statistické zpracování signálu
Techniky	Diskrétní Fourierova transformace (DFT) Časově diskrétní Fourierova transformace (DTFT) impulsní Bilineární transformace Konzistentní Z-transformace Upravená Z-transformace
Vzorkování	supersampling dílčí vzorkování Snížení rozlišení Zvýšení rozlišení Aliasing filtr Vzorkovací frekvence Nyquistova frekvence