Nepřechodné kostky

Sada kostek je nepřechodná , pokud se skládá ze tří kostek A , B a C , u nichž je výsledek hodu kostkou A o více než 50 % větší než výsledek hodu kostkou B , výsledek hodu kostkou B je větší než o 50 % větší než výsledek hodu kostkou C , avšak tvrzení, že výsledek hodu kostkou A je o více než 50 % pravděpodobnější než výsledek hodu kostkou C , je nepravdivé. To znamená, že sada kostek je netranzitivní, pokud pro ni binární vztah „získání většího čísla s pravděpodobností větší než 50 %“ není tranzitivní .

Existují sady kostek s výraznější vlastností, ve kterých na každou kostku připadá další, při hodu s pravděpodobností větší než 50% se získá větší číslo.

Příklad

Příkladem netranzitivních kostí je následující sada:

Pro tuto množinu pravděpodobnost , že hozením A vznikne číslo větší než hozením B ; pravděpodobnost, že při hodu B dostane číslo větší než při hodu C ; a také pravděpodobnost, že při hodu C dostane číslo větší než při hodu A , jsou stejné a rovny se 5/9, to znamená, že tato množina je nepřechodná.

Použití netranzitivních kostek ovlivňuje výsledek hry s následujícími pravidly:

  1. První hráč si vybere kostku ze sady.
  2. Druhý hráč si vybere jednu z kostek, které zůstaly v sadě po volbě prvního hráče.
  3. Oba hráči hodí kostkami; vyhrává hráč s vyšším číslem.

Při použití tranzitivních kostek je výhodou ve hře první hráč, který si může vybrat kostku, jejíž výsledek bude s pravděpodobností alespoň 50% větší než výsledek hodu jakékoli jiné kostky ze sady. V případě použití výše uvedené sady nepřechodných kostek je zvýhodněn druhý hráč, který si bez ohledu na volbu prvního hráče může ze zbývajících kostek vybrat tu, jejíž hod s pravděpodobností 5/ 9 překročí výsledek prvního hráče.

Netranzitivní varianty kostek

Efronovy kosti

Efronova kostka je sada čtyř netranzitivních kostek, které vynalezl Bradley Efron .

Čtyři kosti A, B, C, D mají na tvářích tato čísla:

Pravděpodobnosti

Výsledek hodu každou z kostek ze sady je větší než výsledek hodu další kostkou s pravděpodobností 2/3:

Výsledek házení kostkou B je předem určen; kost A překročí tento výsledek ve 2/3 případů, protože čísla na čtyřech z jejích šesti ploch jsou větší.

Podobně kost B překoná C s pravděpodobností 2/3, protože C má velká čísla pouze na dvou svých plochách.

P(C>D) podle výsledků sestavení podmíněných pravděpodobností dvou událostí:

  • Výsledkem valení C je 6 (pravděpodobnost 1/3); C dává větší výsledek, bez ohledu na výsledek hodu D (pravděpodobnost 1)
  • Výsledkem valení C je 2 (pravděpodobnost 2/3); C dává větší výsledek, kromě získání 5 při hodu D (pravděpodobnost 1/2)

Celková pravděpodobnost výhry C je tedy:

Podobně pravděpodobnost výhry hodu D oproti hodu A je:

Nejlepší kost

Čtyři kostky v Efronově sadě však mají různé pravděpodobnosti výhry proti náhodně vybrané kostce ze zbývajících tří.

Podle výpočtů dává vyšší hod kostkou A vyšší výsledek hodu B ve dvou třetinách případů, ale D může vyhrát pouze v každém třetím případě. Pravděpodobnost lepšího výsledku při hodu A než při hodu C je 4/9 (A by mělo hodit 4 a C by mělo hodit 2). Celková pravděpodobnost získání většího čísla při hodu A než při hodu jinou kostkou, vybraná náhodně:

Podobně B porazí C s pravděpodobností 2/3 a může porazit A 1/3 času. Pravděpodobnost hodu kostkou B je větší než kostkou D je 1/2 (pravděpodobnost hodu 1 kostkou D). Tedy pravděpodobnost výhry B nad jinou kostí ze sady:

Kostka C porazí D ve dvou třetinách času a má 1/3 šanci na výhru proti kostce B. Má 5/9 šanci na výhru proti kostce A. Kumulativní pravděpodobnost, že C vyhraje nad náhodně vybraným „soupeřem“ je:

Nakonec D porazí A 2/3 času a C porazí 1/3 času. Existuje 1/2 šance, že hod touto kostkou překročí hod B (pravděpodobnost hodu 5 na D). Proto D dá výsledek větší než výsledek náhodně vybrané kostky s pravděpodobností:

Kostka C je tedy nejlepší v sadě, pokud jde o pravděpodobnost získání čísla většího, než je výsledek házení jakékoli jiné kostky v sadě. Pro ni je tato pravděpodobnost 0,5185. Kostka C se také vyznačuje nejvyšším matematickým očekáváním výsledku hodu - 3 1 ⁄ 3+ (pro A je to 2 2 ⁄ 3+ a pro B a D je to 3).

Varianty se stejnými součty čísel

Jak bylo uvedeno výše, Efronovy kostky se vyznačují odlišným matematickým očekáváním výsledků házení, tedy ve skutečnosti různými součty čísel vynesených na jejich tvářích. Pro A je tento součet 16, zatímco pro B a D je to 18 a pro C je to 20. Protože netranzitivita sady kostek závisí na relativní hodnotě čísel na jejich stranách, a ne na jejich absolutní hodnotu, lze volit takové varianty čísel, u kterých při stejných pravděpodobnostech výhry při hodu bude součet čísel na stěnách kostky (stejně jako matematické očekávání výsledků jejich hodu) stejný. Příklady takových možností jsou:

  • A: 6, 6, 6, 6, 0, 0
  • B: 4, 4, 4, 4, 4, 4
  • C: 8, 8, 2, 2, 2, 2
  • D: 7, 7, 7, 1, 1, 1

nebo

  • A: 7, 7, 7, 7, 1, 1
  • B: 5, 5, 5, 5, 5, 5
  • C: 9, 9, 3, 3, 3, 3
  • D: 8, 8, 8, 2, 2, 2

Tyto varianty kostek ilustrují důležitost charakteristik rozdělení pravděpodobnosti při porovnávání náhodných proměnných , protože jsou příklady souborů proměnných, které mají stejná matematická očekávání, ale výrazně se liší ve výsledcích „hry“ s jejich použitím.

Kostky s čísly od 1 do 24

Sada čtyř kostek, na jejichž plochách jsou všechna celá čísla od 1 do 24, může být nepřechodná. Navíc v každém páru sousedních kostek dává hod jedné z nich výsledek větší než výsledek hodu druhé, s pravděpodobností blízkou 2/3.

Ve hře s vysokým počtem hodů je pravděpodobnější, že B porazí A, C porazí B, D porazí C a A porazí D.

  • A: 1, 2, 16, 17, 18, 19
  • B: 3, 4, 5, 20, 21, 22
  • C: 6, 7, 8, 9, 23, 24
  • D: 10, 11, 12, 13, 14, 15
Vztah k Efronovým kostem

Kostky s čísly od 1 do 24 jsou v podstatě obdobou Efronových kostek, protože z hlediska relativního výsledku hodu dvojicí kostek na každou z nich lze každé z po sobě jdoucích čísel nahradit nejmenším z nich. Pokud se po takovém nahrazení čísla, která zůstala na všech kostech, seřadí a změní na příslušnou hodnost (od 0 do 6), získají se Efronovy kosti.

  • A: 1, 2, 16, 17, 18, 19 -> 1, 1, 16, 16, 16, 16 -> 0, 0, 4, 4, 4, 4
  • B: 3, 4, 5, 20, 21, 22 -> 3, 3, 3, 20, 20, 20 -> 1, 1, 1, 5, 5, 5
  • C: 6, 7, 8, 9, 23, 24 -> 6, 6, 6, 6, 23, 23 -> 2, 2, 2, 2, 6, 6
  • D: 10, 11, 12, 13, 14, 15 -> 10, 10, 10, 10, 10, 10 -> 3, 3, 3, 3, 3, 3

Bones of Miwin

Miwinovy ​​kosti byly vynalezeny v roce 1975 německým fyzikem Michaelem Winkelmannem a  dostaly své jméno podle zkratky jeho křestního jména a příjmení. Součty čísel na opačných stranách každé kostky jsou 9, 10 a 11. Podle toho je celkové skóre na každé kostce 30.

První sada Miwinových kostek se skládá ze tří kostek: III, IV a V (pojmenovaných podle součtu dvou nejmenších čísel na každé):

  • Kost III s čísly na tvářích: 1, 2, 5, 6, 7, 9
  • Kost IV s čísly na tvářích: 1, 3, 4, 5, 8, 9
  • Kost V s čísly na tvářích: 2, 3, 4, 6, 7, 8

kde:

  • pravděpodobnost , že kostka III při hození dá číslo větší než IV je 17/36
  • pravděpodobnost, že kostka IV při hodu dá číslo větší než V je 17/36
  • pravděpodobnost, že kostka V při hodu dá číslo větší než III, je 17/36

Existují další tři sady kostek Miwin s různými kombinacemi čísel.

Sada s minimálními rozdíly od standardních kostek

Následující netranzitivní sada kostek má pouze malé rozdíly od standardních kostek s čísly od 1 do 6:

  • jako u standardních kostek je součet čísel na všech stranách 21
  • jako standardní kostky se používají pouze čísla od 1 do 6
  • obličeje se stejným číslem na každé z kostí se nevyskytují více než dvakrát
  • pouze dvě tváře mají jiná čísla než standardní kostky:
    • A: 1, 1 , 3, 5, 5 , 6
    • B: 2, 3, 3 , 4, 4 , 5
    • C: 1, 2, 2 , 4, 6, 6

Podobně jako u kostek Miwin je pravděpodobnost „výhry“ destičky A proti B (nebo B proti C, C proti A) 17/36. Zároveň je pravděpodobnost remízy 4/36, takže prohra je možná pouze 15krát z 36.

Netranzitivní dvanáctistěny

Podobně jako u netranzitivních šestistěnných kostek (kostek) existují sady dvanáctistěnů , dvanáctistěnných kostek, které jsou rovněž spojeny netranzitivními vztahy vzhledem k hodu větším číslem.

Nejznámější herní nepřechodné dvanáctistěny jsou také autorem Michaela Winckelmanna a mají následující vlastnosti:

  • Součet čísel na všech stranách každého dvanáctistěnu je 114.
  • Čísla na tvářích každého konkrétního dvanáctistěnu jsou jedinečná (neopakují se).
  • Kurz na to, že každý z dvanáctistěnů Miwin vyhraje ve hře s vyšším číslem proti dalšímu dvanáctistěnu v sadě, je 35:34 pro první set a 71:67 ​​pro druhý set.
DIII jeden 2 5 6 7 9 deset jedenáct čtrnáct patnáct 16 osmnáct
D IV jeden 3 čtyři 5 osm 9 deset 12 13 čtrnáct 17 osmnáct
DV 2 3 čtyři 6 7 osm jedenáct 12 13 patnáct 16 17
DVI jeden 2 3 čtyři 9 deset jedenáct 12 13 čtrnáct 17 osmnáct
D VII jeden 2 5 6 7 osm 9 deset patnáct 16 17 osmnáct
D VIII 3 čtyři 5 6 7 osm jedenáct 12 13 čtrnáct patnáct 16

Netranzitivní dvanáctistěny s prvočísly

Existují nepřechodné množiny dvanáctistěnů, na každém z nich se čísla neopakují a jsou prvočísla . Šance každého dvanáctistěnu z netranzitivních sad Miwin vyhrají ve hře s vyšším číslem proti dalšímu dvanáctistěnu v sadě 35:34.

Sada 1: Součet čísel je 564.

Sada 2: Součet čísel je 468.

PD 1 7 jedenáct 19 23 29 37 43 47 53 61 67 71
PD2 7 13 17 19 31 37 41 43 59 61 67 73
PD 3 jedenáct 13 17 23 29 31 41 47 53 59 71 73

Meta-tranzitivní kosti (meta-kosti)

Tři nebo více sad kostí, v každé z nich tvoří kosti svůj vlastní netranzitivní kruh a vztahy mezi sadami samotnými jsou také netranzitivní. Příkladem jsou meta-tranzitivní kosti [1] od A. V. Lebedeva [2] .

Viz také

Odkazy

Poznámky

  1. ↑ Metanettransitive Dice archivováno 20. července 2021 na Wayback Machine
  2. ↑ Lebedev Alexey Viktorovich Archivovaná kopie z 19. července 2021 na Wayback Machine