Nulový morfismus

V teorii kategorií je  nulový morfismus morfismus , který zobecňuje vlastnosti lineárních zobrazení na nulu .

Definice

Nechť C  je kategorie a f  : X → Y  morfismus v C . f se nazývá konstantní morfismus , jestliže pro jakýkoli objekt W v C a libovolné g , h  : W → X , fg = fh . Podle toho se f nazývá kokonstantní morfismus , jestliže pro libovolný objekt Z a libovolné g h ∈ Mor C ( Y , Z ), gf = hf . Nulový morfismus  je morfismus, který je konstantní i kokonstantní.

Kategorie s nulovými morfismy  je kategorie, ve které je pro libovolné dva objekty A a B morfismus 0 AB  : A → B pevný tak, že pro libovolné objekty X , Y , Z v C a jakékoli morfismy f  : Y → Z , g  : X → Y následující diagram je komutativní:

Pak jsou morfismy 0 XY nutně nulové. Pokud je C  kategorie s nulovým morfismem, pak 0 XY je jednoznačně určeno.

Příklady

• V kategorii skupin (nebo modulů ) je nulovým morfismem homomorfismus f  : G → H , který mapuje všechny prvky G na neutrální prvek H . nulovým objektem v kategorii skupin je triviální skupina 1 = {1}. Každý nulový morfismus prochází 1 , tedy f  : G → 1 → H .

• Obecněji, nechť C  je kategorie s nulovým objektem 0 . Pak pro libovolné dva objekty X a Y existuje jedinečná sekvence morfismů

•  Je -li C preaditivní kategorie , pak každá množina morfismů Mor( X , Y ) je abelovská grupa a má nulový prvek. Tyto nulové prvky tvoří rodinu nulových morfismů, čímž se C stává kategorií s nulovými morfismy.

• Kategorie množin nemá nulový objekt, ale má počáteční objekt , prázdnou množinu ∅. Jediné kokonstantní funkce v množině jsou  funkce ve tvaru ∅ → X .

Literatura

• Oddíl 1.7 Pareigis, Bodo. Kategorie a funktory  (neopr.) . - Academic Press , 1970. - V. 39. - (Čistá a aplikovaná matematika). — ISBN 978-0-12-545150-5 .
• Herrlich, Horst; Strecker, George E. Teorie kategorií  (neurčité) . — Allen and Bacon, Inc. Boston, 1973 .