Reciproční číslo

Převrácená hodnota daného čísla x je číslo , jehož vynásobení x dává jedničku . Přijatý záznam: nebo . Dvě čísla, jejichž součin je 1, se nazývají reciproká . Převrácená hodnota čísla by neměla být zaměňována s převrácenou hodnotou funkce. Například se liší od hodnoty funkce inverzní ke kosinus - arkkosinus , která se značí nebo . ${\frac {1}x}$ $x^{{-1}}$ ${\frac {1}{\cos {x}}}$ $\cos ^{{-1}}x$ $\arccos x$

Inverzní k reálnému číslu

Pro jakékoli reálné (nebo komplexní ) číslo jiné než nula existuje číslo, které je jeho inverzní. Převrácená hodnota reálného čísla může být uvedena jako zlomek nebo mocnina s exponentem -1 . Zpravidla se však používá zápis zlomkem.

Číslo	Zvrátit
Číslo	Zlomek	Stupeň
$n$	${\frac {1}{n}}$	$n^{{-1}}$

To je . $\ {\frac {1}{n}}=n^{{-1}}$

Příklady
Číslo	$3$	${\frac {1}{10))$	$-{\frac {2}{7))$	$2\pi$	$2$	$-0,125$	$jeden$	$\sqrt{3}$	$e^{{{\frac {\pi }{4))))$	$10^{{23}}$
Zvrátit	${\frac {1}{3))$	$deset$	$-{\frac {7}{2}}$	${\frac {1}{2\pi ))$	$0,5$	$-osm$	$jeden$	$\frac{\sqrt{3}}{3}$	$e^{{-{\frac {\pi }{4))))$	$10^{{-23}}$

Nezaměňujte pojmy "reciproké číslo" a " protější číslo ". Říká se, že dvě čísla jsou opačná, pokud je jejich součet nula. Například číslo opačné k 3 je -3 a reciproké číslo je 1/3.

Inverzní k nule

V aritmetice, která pracuje s reálnými (nebo komplexními) čísly, neexistuje pojem nekonečna (neexistuje žádné číselné „nekonečno“). Proto se má za to, že je nemožné dělit nulou . Takže nula nemá žádnou reciproční hodnotu. Ale od zavedení limitního přechodu (v matematické analýze ) se objevily pojmy jako nekonečně malá a nekonečně velká množství, která jsou vzájemně inverzní.

Pomocí průchodu do limitu získáme:

Pravý limit: _ nebo _ $\lim _{x\to +0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=+\infty$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xarrowarrow[ {x{\xrightarrow {}}+0}]{}}\ {+\infty }$
Levý limit: _ nebo _ $\lim _{x\to -0}{\frac {1}{x}}=\left({\frac {1}{0}}\right)=-\infty$ $\left({\frac {1}{x}}\right){\xarrowarrow[ {x{\xrightarrow {}}-0}]{}}\ {-\infty }$

Tedy převrácená hodnota nuly, v závislosti na tom, o kterou stranu usilovat, je formálně nekonečná se znaménkem „+“ nebo „-“ . Taková definice inverze k nule je však nesmyslná - úvod ztrácí distributivitu, což se projevuje zejména tehdy, když se inverzní kvadratická limita také „rovná“ nekonečnu, ale při dělení předchozí limity touto jednou dává odpověď 0, ne 1.

$\lim _{{x\to +0}}{\frac {1}{x^{2}}}={+\infty }$

Ale $\lim _{{x\to +0}}{\frac {{\frac {1}{x}}}{{\frac {1}{x^{2}}}}}=\lim _{{ x\to +0}}{\frac {x^{2}}{x}}=0$

Inverzní ke komplexnímu číslu

Převrácené hodnoty komplexních čísel vypadají poněkud komplikovaněji než převrácené hodnoty skutečných čísel. Existují tři formy komplexního čísla: algebraické , trigonometrické a exponenciální .

Formy komplexních čísel	Číslo $(z)$	obráceně [1] $\left({\frac {1}{z}}\right)$
Algebraický	$x+iy$	${\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}$
trigonometrický	$r(\cos \varphi +i\sin \varphi )$	${\frac {1}{r}} (\cos \varphi -i\sin \varphi )$
Demonstrace	$re^{{i\varphi }}$	${\frac {1}{r}}e^{{-i\varphi }}$

Označení a důkaz

Označení

$z\in {\mathbb {C}}$ (komplexní číslo), (reálná část komplexního čísla), (imaginární část komplexního čísla), - imaginární jednotka , (modul komplexního čísla), (argument komplexního čísla), - základ přirozeného logaritmu .
$x=\operatorname {Re} (z)\in \mathbb {R}$
$y=\operatorname {Im} (z)\in \mathbb {R}$
$i$
$r=|z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}$
$\varphi =\operatorname {arg} z=\operatorname {arctg} {\frac {y}{x))$
$E$

Důkaz:
Pro algebraické a goniometrické formy používáme základní vlastnost zlomku , vynásobením čitatele a jmenovatele komplexním sdruženým členem :

Algebraický tvar:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{x+iy}}={\frac {x-iy}{(x+iy)(x-iy)))={\frac { x-iy}{x^{2}+y^{2}}}={\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}-i{\frac {y}{x^ {2}+y^{2}}}$

Trigonometrický tvar:

${\frac {1}{z))={\frac {1}{r(\cos \varphi +i\sin \varphi )))={\frac {1}{r)){\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{(\cos \varphi +i\sin \varphi )(\cos \varphi -i\sin \varphi )))={\frac {1}{r)){\frac {\cos \varphi -i\sin \varphi }{\cos ^{2}\varphi +\sin ^{2}\varphi }}={\frac {1}{r}}(\cos \varphi -i \sin \varphi )$

Orientační formulář:

${\frac {1}{z}}={\frac {1}{re^{{i\varphi }}}}={\frac {1}{r}}e^{{-i\varphi }}$

Při hledání převrácené hodnoty komplexního čísla je tedy výhodnější použít jeho exponenciální tvar.

Příklad:

Formy komplexních čísel	Číslo $(z)$	obráceně [1] $\left({\frac {1}{z}}\right)$
Algebraický	$1+i{\sqrt {3}}$	${\frac {1}{4}}-{\frac {{\sqrt {3}}}{4}}i$
trigonometrický	$2\left(\cos {\frac {\pi }{3}}+i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)$ nebo [2] $2\left({\frac {1}{2}}+i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right)$	${\frac {1}{2}}\left(\cos {\frac {\pi }{3}}-i\sin {\frac {\pi }{3}}\right)$ nebo [2] ${\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{2}}-i{\frac {{\sqrt {3}}}{2}}\right)$
Demonstrace	$2e^{{i{\frac {\pi }{3))))$	${\frac {1}{2}}e^{{-i{\frac {\pi }{3))))$

Inverzní k imaginární jednotce

Existují pouze dvě čísla ( komplexně konjugovaná ), jejichž reciproká a protiklady jsou si rovny. Toto je . $\pm i$

Číslo	Rovnost inverzního a opačného
Číslo	Zápis inverze přes zlomek	Psaní rubu přes stupeň
$i$	${\frac {1}{i}}=-i$	$i^{{-1}}=-i$
$-i$	$-{\frac {1}{i}}=i$	$-i^{{-1}}=i$

Důkaz

Ukažme důkaz pro (pro obdobně). Použijeme hlavní vlastnost zlomku : Získáme tedy __ nebo __ Podobně pro : __ __ nebo __ $i$ $-i$

${\frac {1}{i}}={\frac {1\cdot i}{i\cdot i}}={\frac {i}{i^{2}}}={\frac {i}{ -1}}=-i$

${\frac {1}{i}}=-i$ $i^{{-1}}=-i$

$-i$ $-{\frac {1}{i}}=i$ $-i^{{-1}}=i$

Poznámky