Weylovo omezení

Skalární omezení (také známé jako "Weylovo omezení") je funktor , který pro jakékoli rozšíření konečného pole L/k a jakoukoli algebraickou varietu X nad L dává jinou varietu Res L / k X definovanou nad k . Skalární omezení je užitečné pro snížení otázek o odrůdách na velkých polích na otázky o složitějších odrůdách na menších polích.

Definice

Nechť L/k je rozšíření konečného pole a X varieta definovaná přes L . Funktor od k - schémat op do množin je definován výrazem $\mathrm {Res} _{L/k}X$

\mathrm {Res} _{L/k}X(S)=X(S\times _{k}L)

(Zejména k -racionální body variety jsou L -racionální body X .) Varieta, kterou tento funktor reprezentuje , se nazývá skalární omezení a je jedinečná až do izomorfismu, pokud existuje. $\mathrm {Res} _{L/k}X$

Z hlediska svazků množin je omezení skalárů jednoduše diferenciálem podél morfismu Spec L Spec k a je správně konjugováno s fibrovaným součinem schémat , takže výše uvedenou definici lze přeformulovat obecněji. Zejména rozšíření pole mohou být nahrazena libovolným morfismem prstencového topoi a předpoklad o X lze zmírnit například na hromádky. To má za následek volnější kontrolu nad chováním skalárního omezení. $\na$

Vlastnosti

Pro jakékoli rozšíření konečného pole převádí skalární omezení z kvaziprojektivní odrůdy na kvaziprojektivní odrůdu. Rozměr výsledného rozdělovače se násobí stupněm prodloužení.

Za správných podmínek (například plochý, správný, definitivně prezentovaný) jakýkoli morfismus algebraických prostorů poskytuje skalární restrikční funktor, který mapuje algebraické zásobníky na algebraické zásobníky, přičemž zachovává takové vlastnosti, jako je zásobník Artin, Deligne -Mumford stack a myslitelnost. $T\to S$

Příklady a aplikace

1) Nechť L je konečné rozšíření pole k stupně s. Potom (Spec L ) = Spec( k ) a je s-rozměrný afinní prostor nad Spec k . ${\displaystyle \mathrm {Res} _{L/k))$ $Res_{L/k}\mathbb {A} ^{1}$ $\mathbb {A} ^{s}$

2) Je-li X afinní L -varianta definovaná výrazem

X={\text{Spec}}L[x_{1},\tečky ,x_{n}]/(f_{1},\tečky ,f_{m})

můžeme psát jako Spec , kde y i,j ( ) jsou nové proměnné a g l,r ( ) je polynom v získaný volbou k - základu rozšíření L a nastavením a . $\mathrm {Res} _{L/k}X$ $k[y_{i,j}]/(g_{l,r})$ $1\leq i\leq n,1\leq j\leq s$ $1\leq l\leq m,1\leq r\leq s$ $y_{i,j}$ ${\displaystyle e_{1},\tečky ,e_{s))$ ${\displaystyle x_{i}=y_{i,1}e_{1}+\tečky +y_{i,s}e_{s))$ ${\displaystyle f_{t}=g_{t,1}e_{1}+\dots +g_{t,s}e_{s))$

3) Omezení skalárů přes rozšíření konečného pole převádí skupinová schémata na skupinová schémata.

Zejména:

4) Thor

{\displaystyle \mathbb {S} :=\mathrm {Res} _{\mathbb {C} /\mathbb {R} }\mathbb {G} _{m))

kde G m znamená multiplikativní grupu, hraje zásadní roli v Hodgeově teorii, protože kategorie Tannakie reálných Hodgeových struktur je ekvivalentní kategorii reprezentací S . Reálné body mají strukturu Lieovy grupy , která je izomorfní k . Viz skupina Mumford–Tate . $\mathbb {C} ^{\times }$

5) Weilova podmínka (komutativní) grupové variety je opět (komutativní) grupová varieta dimenze , je -li L oddělitelná přes k . Alexander Momot aplikoval Weilova omezení na komutativní grupové variety s a za účelem získání nových výsledků v teorii transcendence, která byla založena na nárůstu algebraické dimenze. $\mathrm {Res} _{L/k}\mathbb {G}$ $\mathbb {G}$ $[L:k]\dim \mathbb {G}$ $k=\mathbb {R}$ $L=\mathbb {C}$

6) Omezení skalárů na abelovské variety (např. eliptické křivky ) dává abelovské variety, pokud je L oddělitelné přes k . James Meehl toho použil k redukci Birch-Swinnerton-Dyerovy domněnky o abelovských varietách přes všechna číselná pole na stejnou domněnku o racionálních číslech.

7) V eliptické kryptografii Weilův sestup používá Weylovo omezení k transformaci problému diskrétního logaritmu na eliptické křivce nad rozšířením konečného pole L/K na problém diskrétního logaritmu na Jacobiho varietě hyperbolické křivky přes základní pole K, což je potenciálně snazší vyřešit kvůli menší velikosti pole K.

Weilovy konstrukce versus Greenbergovy transformace

Skalární omezení je podobné Greenbergově transformaci, ale nezobecňuje ji, protože Wittův vektorový kruh na komutativní algebře A není obecně A -algebra .

Poznámky

Literatura

Andrew Weil. Adele a algebraické grupy. - Birkhäuser, 1982. - T. 23. - (Pokrok v matematice). Poznámky k přednáškám v letech 1959-1960.
- Weil A. ADELIE A ALGEBRAICKÉ SKUPINY // Matematika. - 1964. - T. 8 , no. 4 . - S. 3-74 .
Siegfried Bosch, Werner Lütkebohmert, Michel Raynaud . Modely Neron. - Berlín, Heidelberg, New York: Springer-Verlag, 1990. - T. 21. - (Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzbiete). — ISBN 3-540-50587-3 . — ISBN 0-387-50587-3 .
James S. Milne. K aritmetice abelovských odrůd // Invent. Matematika. - 1972. - Vydání. 17 . - S. 177-190 .
Martin Olson. Hom stacky a omezení skalárů // Duke Math J .. - 2006. - Sv. 134 . — S. 139–164 .
Bjorn Poonen. Racionální body k odrůdám . - American Mathematical Society, 2017. - V. 186. - (Graduate Studies in Mathematics). - ISBN 978-1-4704-3773-2 .
Alexander Lech Momot. Hustota racionálních bodů na varietách komutativních skupin a malý stupeň transcendence . — 2010.