Zaokrouhlování

Zaokrouhlení je nahrazení čísla jeho přibližnou hodnotou (s určitou přesností ), zapsanou s menším počtem platných číslic. Modul rozdílu mezi nahrazovaným číslem a náhradním číslem se nazývá chyba zaokrouhlení .

Zaokrouhlení se používá k reprezentaci hodnot a výsledků výpočtů s tolika desetinnými místy, jako je skutečná přesnost měření nebo výpočtu, nebo jak to vyžaduje konkrétní aplikace. Zaokrouhlování v ručních výpočtech lze také použít ke zjednodušení výpočtů v případech, kdy chyba způsobená zaokrouhlovací chybou nepřesahuje meze přípustné chyby výpočtu.

Obecné zaokrouhlování a terminologie

Zaokrouhlení čísla zapsaného v poziční číselné soustavě s M desetinnými místy lze provést „až na K-té desetinné místo“, kde K ≤ M. Při tomto zaokrouhlení jsou čísla v záznamu vyřazena vpravo (MK) významných číslic a K-tá číslice za čárkou se může změnit (viz #Metody ). Používá se také terminologie označující jednotku nejmenšího desetinného podílu, který je zachován pro zaokrouhlené číslo, tedy „zaokrouhlení na desetiny“, „... na setiny“, „... na tisíciny“ atd. (odpovídá zaokrouhlení na jednu, dvě, tři atd. na další desetinná místa). Speciální případ, kdy K=0 se nazývá "zaokrouhlení nahoru".
Když jsou při zaokrouhlování vyřazeny významné číslice celé části čísla, hovoří se o „zaokrouhlování na desítky“ (stovky, tisíce atd.), přičemž se zahazuje jeden, dva, tři nebo více znaků. Při tomto zaokrouhlení jsou vyřazené číslice celočíselné části čísla nahrazeny nulami.
U čísel reprezentovaných v normalizovaném tvaru se mluví o "zaokrouhlení na K (významných) číslic". V tomto případě si mantisa čísla zachová K platných číslic, zbývající číslice vpravo jsou vyřazeny.

Metody

Různá pole mohou používat různé metody zaokrouhlování. Ve všech těchto metodách jsou znaménka "navíc" nastavena na nulu (zahozena) a znaménko před nimi je opraveno podle nějakého pravidla.

Zaokrouhlení na nejbližší celé číslo

Zaokrouhlení na nejbližší celé číslo je nejčastěji používané zaokrouhlování, při kterém se číslo zaokrouhluje na celé číslo, modul rozdílu, se kterým má toto číslo minimum. Obecně, když je číslo v desítkové soustavě zaokrouhleno nahoru na N-té desetinné místo, pravidlo může být formulováno následovně:

pokud N+1 znak < 5 , pak N-tý znak je zachován a N+1 a všechny následující znaky jsou nastaveny na nulu;
pokud N+1 číslice ≥ 5 , pak se N-tá číslice zvýší o jedničku a N+1 a všechny následující jsou nastaveny na nulu;

Například: 11,9 → 12; -0,9 -> -1; −1,1 → −1; 2.5 → 3. Maximální dodatečná absolutní chyba způsobená tímto zaokrouhlením (chyba zaokrouhlení) je ±0,5 poslední uložené číslice.

Zaokrouhlení nahoru

Zaokrouhlení nahoru (zaokrouhlení nahoru +∞, zaokrouhlení nahoru, anglicky strop - rozsvíceno "ceiling") - pokud znaky s možností null nejsou rovné nule, předchozí znaménko se zvětší o jedničku, pokud je číslo kladné, nebo se uloží, pokud je číslo negativní. V ekonomickém žargonu zaokrouhlování ve prospěch prodávajícího , věřitele (osoby, která peníze přijímá). Konkrétně 2,6 → 3, −2,6 → −2. Chyba zaokrouhlení je v rozmezí +1 od poslední uložené číslice.

Zaokrouhlení dolů

Zaokrouhlení dolů (zaokrouhlení dolů na −∞, zaokrouhlení dolů, anglické patro – doslovné „podlaha“) – pokud znaky s možností null nejsou rovné nule, předchozí znaménko se zachová, pokud je číslo kladné, nebo se zvýší o jednu, pokud je číslo negativní. V ekonomickém žargonu - zaokrouhlování ve prospěch kupujícího , dlužníka (osoby, která dává peníze). Zde 2,6 → 2, −2,6 → −3. Chyba zaokrouhlení je v rozmezí -1 od poslední uložené číslice.

Zaokrouhlení modulo nahoru

Zaokrouhlování nahoru (zaokrouhlování směrem k nekonečnu, zaokrouhlování od nuly) je poměrně málo používaná forma zaokrouhlování. Pokud znaky s možnou hodnotou Null nejsou rovné nule, předchozí znak se zvýší o jedničku. Chyba zaokrouhlování je +1 poslední číslice pro kladná čísla a -1 poslední číslice pro záporná čísla .

Zaokrouhlení dolů modulo

Zaokrouhlení na nejmenší modulo (zaokrouhlení na nulu, celá anglická oprava, zkrácení, celé číslo ) je „nejjednodušší“ zaokrouhlení, protože po vynulování „nadbytečných“ znaků se zachová předchozí znaménko, tedy technicky spočívá ve vyřazení nadbytečných znaky. Například 11,9 → 11; −0,9 → 0; −1,1 → −1). Při takovém zaokrouhlování může být chyba zavedena v rámci jednotky poslední uložené číslice a v kladné části číselné osy je chyba vždy záporná a v záporné části kladná.

Náhodné zaokrouhlení

Náhodné zaokrouhlení - zaokrouhlování nahoru nebo dolů v náhodném pořadí, přičemž pravděpodobnost zaokrouhlení nahoru se rovná zlomkové části. Tato metoda dělá z akumulace chyb náhodnou veličinu s nulovým matematickým očekáváním .

Možnosti pro zaokrouhlení 0,5 na nejbližší celé číslo

Pravidla pro zaokrouhlování vyžadují zvláštní popis pro zvláštní případ, kdy (N + 1)-tý znak = 5 a následující znaky se rovnají nule . Pokud ve všech ostatních případech zaokrouhlení na nejbližší celé číslo poskytuje menší zaokrouhlovací chybu, pak se tento konkrétní případ vyznačuje tím, že pro jediné zaokrouhlení je formálně lhostejné, zda je „nahoru“ nebo „dolů“ - v obou případech jde o chybu se zavádí přesně v 1/2 nejméně významné číslice . Pro tento případ existují následující varianty pravidla zaokrouhlování na nejbližší celé číslo:

Matematické zaokrouhlování - zaokrouhluje se vždy nahoru (předchozí číslice se vždy zvýší o jednu).
Zaokrouhlování na nejbližší sudé číslo (v angličtině je známé jako anglické banker's rounding - "zaokrouhlování bankéře") - zaokrouhlování v tomto případě nastává na nejbližší sudé číslo, tedy 2,5 → 2; 3,5 → 4.
Náhodné zaokrouhlování - zaokrouhlování nahoru nebo dolů náhodně, ale se stejnou pravděpodobností (lze použít ve statistice).
Střídavé zaokrouhlování - střídavě zaokrouhlování nahoru nebo dolů.

Ve všech případech, kdy (N + 1) znaménko není rovno 5 nebo následující znaménka nejsou rovna nule, zaokrouhlování probíhá podle obvyklých pravidel: 2,49 → 2; 2,51 → 3.

Matematické zaokrouhlování jednoduše formálně odpovídá obecnému pravidlu zaokrouhlování (viz výše). Jeho nevýhodou je, že při zaokrouhlování velkého množství hodnot, které budou následně zpracovány společně, může docházet ke kumulaci zaokrouhlovací chyby . Typický příklad: zaokrouhlení částky vyjádřené v rublech a kopejkách nahoru na celé rubly. V rejstříku o 10 000 řádcích (předpokládejme, že kopějská část každé částky je náhodné číslo s rovnoměrným rozdělením, které je obvykle docela přijatelné), bude v průměru asi 100 řádků s částkami obsahujícími hodnotu 50 v kopejské části. Když jsou všechny takové řádky zaokrouhleny podle pravidel matematického zaokrouhlování "nahoru", součet "celku" podle zaokrouhleného registru bude o 50 rublů vyšší než přesný.

Další tři možnosti jsou jen vymyšleny, aby se snížila celková chyba součtu při zaokrouhlování velkého počtu hodnot. Zaokrouhlení „na nejbližší sudý“ předpokládá, že při velkém počtu zaokrouhlených hodnot, které mají v zaokrouhleném zbytku 0,5, bude v průměru polovina z nich vlevo a polovina vpravo od nejbližší sudé, čímž se zaokrouhlí chyby se navzájem zruší. Přísně vzato je tento předpoklad pravdivý pouze v případě, že zaokrouhlovaná množina čísel má vlastnosti náhodné řady, což obvykle platí v účetních aplikacích, kde se bavíme o cenách, částkách na účtech a podobně. Pokud je předpoklad porušen, může zaokrouhlení „na sudé“ vést k systematickým chybám. V takových případech nejlépe fungují následující dvě metody.

Poslední dvě možnosti zaokrouhlení zajistí, že přibližně polovina speciálních hodnot bude zaokrouhlena jedním směrem a polovina naopak. Implementace takových metod v praxi však vyžaduje další úsilí o organizaci výpočetního procesu.

Náhodné zaokrouhlení vyžaduje, aby bylo pro každý zaokrouhlený řádek vygenerováno náhodné číslo. Při použití pseudonáhodných čísel generovaných lineární rekurentní metodou je pro generování každého čísla vyžadována operace násobení, sčítání a modulového dělení, což může výrazně zpomalit výpočty pro velké množství dat.
Prokládané zaokrouhlování vyžaduje uložení příznaku označujícího, jakým způsobem byla speciální hodnota naposledy zaokrouhlena, a přepínání hodnoty tohoto příznaku při každé operaci.

Notace

Operace zaokrouhlení čísla x na větší ( nahoru ) je označena následovně: . Podobně zaokrouhlení dolů ( dolů ) se značí . Tyto symboly (stejně jako anglické názvy pro tyto operace - respektive, strop a podlaha , lit. "strop" a "podlaha") zavedl [1] K. Iverson ve svém díle A Programming Language [2] , který popsal systém matematického zápisu, později rozvinutý do programovacího jazyka APL . Iversonův zápis operací zaokrouhlování zpopularizoval D. Knuth ve své knize The Art of Programming [ 3] . $\lceil x\rceil$ $\lpatro x\rpatro$

Analogicky se zaokrouhlování na nejbližší celé číslo často označuje jako . V některých předchozích i novodobých (do konce 20. století) pracích bylo zaokrouhlování dolů naznačeno tímto způsobem; toto použití tohoto zápisu sahá až k práci Gausse v 1808 (jeho třetí důkaz kvadratického zákona reciprocity ). Stejná notace se navíc používá (s jiným významem) v Iversonově notaci . [jeden] $\left[ x \right]$

Ve standardu Unicode jsou opraveny následující znaky :

Název v Unicode	Kód v Unicode		Pohled	Mnemotechnické pomůcky v HTML 4	Poznámky
Název v Unicode	hexadecimální	desetinný	Pohled	Mnemotechnické pomůcky v HTML 4	Poznámky
LEVÝ STROP (také APL upstile)	2308	8968	⌈	⌈	nezaměňovat s: U+2E22 ⸢ - Levá horní polovina držáku U+300C「-Levý rohový držák
PRAVÝ STROP	2309	8969	⌉	⌉	nezaměňovat s: U+20E7 ◌⃧ — Kombinující symbol anuity U+2E23 ⸣ - Pravá horní polovina konzoly
LEVÉ PODLAŽÍ (také APL v přízemí)	230A	8970	⌊	&lpodlaha;	nezaměňovat s: U+2E24 ⸤
PRAVÉ PODLAŽÍ	230B	8971	⌋	⌋	nezaměňovat s: U+2E25 ⸥ U+300D」 - Pravý rohový držák

Aplikace

Zaokrouhlování slouží k práci s čísly v rozsahu počtu číslic, který odpovídá skutečné přesnosti parametrů výpočtu (jsou-li tyto hodnoty skutečnými hodnotami naměřenými tak či onak), reálně dosažitelné přesnosti výpočtu, popř. požadovanou přesnost výsledku. V minulosti mělo zaokrouhlování mezihodnot a výsledku praktický význam (protože při počítání na papíře nebo při použití primitivních zařízení, jako je počítadlo , může zohlednění dalších desetinných míst vážně zvýšit množství práce). Nyní zůstává prvkem vědecké a inženýrské kultury. V účetních aplikacích může být navíc vyžadováno použití zaokrouhlování, včetně mezilehlých, pro ochranu před výpočetními chybami spojenými s konečnou bitovou kapacitou výpočetních zařízení.

Některé studie navíc používají k měření numerické gramotnosti zaokrouhlování podle věku . Důvodem je skutečnost, že méně vzdělaní lidé mají tendenci svůj věk zaokrouhlovat, místo aby uváděli přesný věk. Například v oficiálních záznamech populací s nižší úrovní lidského kapitálu je věk 30 častější než věk 31 nebo 29 [4] .

Zaokrouhlování při práci s čísly s omezenou přesností

Reálné fyzikální veličiny se vždy měří s určitou konečnou přesností , která závisí na přístrojích a metodách měření a je odhadnuta maximální relativní nebo absolutní odchylkou neznámé skutečné hodnoty od naměřené, která v desítkovém vyjádření odpovídá buď určitý počet platných číslic nebo na určitou pozici v číselném zápisu, přičemž všechna čísla za nimi (vpravo) jsou nevýznamná (leží v rámci chyby měření ). Samotné naměřené parametry jsou zaznamenány s takovým počtem znaků, že všechny údaje jsou spolehlivé, možná ten poslední je pochybný. Chyba v matematických operacích s čísly s omezenou přesností je zachována a mění se podle známých matematických zákonů, takže když se v dalších výpočtech objeví mezihodnoty a výsledky s velkým počtem číslic, je významná pouze část těchto číslic. Zbývající údaje, které jsou v hodnotách přítomny, ve skutečnosti neodrážejí žádnou fyzickou realitu a zaberou pouze čas pro výpočty. V důsledku toho jsou mezihodnoty a výsledky ve výpočtech s omezenou přesností zaokrouhleny na počet desetinných míst, který odráží skutečnou přesnost získaných hodnot. V praxi se obvykle doporučuje ukládat v mezihodnotách pro dlouhé „řetězované“ ruční výpočty ještě jednu číslici. Při použití počítače střední zaokrouhlení ve vědeckých a technických aplikacích nejčastěji ztrácí smysl a zaokrouhluje se pouze výsledek.

Je-li tedy například síla 5815 gf dána s přesností na gram síly a délka ramene 1,40 m s přesností na centimetr, pak moment síly v kgf podle vzorce , v případě formálního výpočtu se všemi znaky se bude rovnat: 5,815 kgf • 1,4 m \u003d 8,141 kgf • m . Pokud však vezmeme v úvahu chybu měření, pak dostaneme, že mezní relativní chyba první hodnoty je 1/5815 ≈ 1,7•10 −4 , druhá je 1/140 ≈ 7,1•10 −3 , relativní chyba výsledku podle pravidla provozní chyby násobení (při násobení přibližných hodnot se relativní chyby sčítají) bude 7,3•10 −3 , což odpovídá maximální absolutní chybě výsledku ±0,059 kgf•m! To znamená, že ve skutečnosti, s přihlédnutím k chybě, může být výsledek od 8,082 do 8,200 kgf•m, takže ve vypočtené hodnotě 8,141 kgf•m je pouze první údaj zcela spolehlivý, dokonce i druhý je již pochybný. ! Bude správné zaokrouhlit výsledek výpočtů na první pochybné číslo, to znamená na desetiny: 8,1 kgf•m, nebo v případě potřeby přesnější označení meze chyby, uvést jej ve tvaru zaokrouhleném na jednu nebo dvě desetinná místa s uvedením chyby: 8 ,14 ± 0,06 kgf•m . $M=(mg)\cdot h$

Zaokrouhlení vypočtené hodnoty chyby

V konečné hodnotě vypočtené chyby se obvykle ponechá pouze první jedno nebo dvě platné číslice. Podle jednoho z aplikovaných pravidel, pokud chybová hodnota začíná číslicemi 1 nebo 2 [5] (podle jiného pravidla - 1, 2 nebo 3 [6] ), pak se do ní ukládají dvě platné číslice, v ostatních případech - jeden, například: 0,13; 0,26; 0,3; 0,8. To znamená, že každá dekáda možných hodnot zaokrouhlené chyby je rozdělena na dvě části. Nevýhodou tohoto pravidla je, že relativní chyba zaokrouhlení se výrazně změní při přechodu z 0,29 na 0,3. Aby se to odstranilo, navrhuje se rozdělit každou dekádu možných chybových hodnot na tři části s méně ostrou změnou v kroku zaokrouhlování. Poté má řada zaokrouhlených chybových hodnot, které je povoleno použití, podobu:

0,10; 0,12; 0,14; 0,16; 0,18;
0,20; 0,25; 0,30; 0,35; 0,40; 0,45;
0,5; 0,6; 0,7; 0,8; 0,9; 1,0.

Při použití takového pravidla však musí dané řadě odpovídat i poslední číslice samotného výsledku, zbylé po zaokrouhlení [5] .

Přepočet hodnot fyzikálních veličin

Přepočet hodnoty fyzikální veličiny z jedné soustavy jednotek do druhé musí být proveden při zachování přesnosti původní hodnoty. K tomu je třeba původní hodnotu v jedné jednotce vynásobit (vydělit) konverzním faktorem, který často obsahuje velký počet platných číslic, a výsledek zaokrouhlit na počet platných číslic, který zajistí přesnost původní hodnoty. . Například při převodu hodnoty síly 96,3 tf na hodnotu vyjádřenou v kilonewtonech (kN) by měla být původní hodnota vynásobena převodním faktorem 9,80665 (1 tf = 9,80665 kN). Výsledkem je hodnota 944,380395 kN, kterou je nutné zaokrouhlit na tři platné číslice. Místo 96,3 tf dostáváme 944 kN [7] .

Základní pravidla pro aritmetiku zaokrouhlování

V případech, kdy není potřeba přesně zohledňovat výpočetní chyby, ale je vyžadován pouze přibližný odhad počtu přesných čísel v důsledku výpočtu podle vzorce, můžete použít sadu jednoduchých pravidel pro zaokrouhlené výpočty [ 8] :

Všechny hrubé hodnoty jsou zaokrouhleny nahoru na skutečnou přesnost měření a zaznamenány s příslušným počtem platných číslic, takže v desítkovém zápisu jsou všechny číslice spolehlivé (je povoleno, aby poslední číslice byla pochybná). V případě potřeby jsou hodnoty zaznamenávány s výraznými nulami na pravé straně, aby byl v záznamu uveden skutečný počet spolehlivých znaků (například pokud je délka 1 m skutečně měřena s přesností na centimetr, je „1,00 m“ napsáno tak, aby bylo vidět, že dva znaky jsou v záznamu za desetinnou čárkou spolehlivé), nebo je přesnost výslovně uvedena (například 2500 ± 5 m - zde jsou spolehlivé pouze desítky a je třeba je zaokrouhlit nahoru) .
Mezilehlé hodnoty jsou zaokrouhleny na jednu „náhradní“ číslici.
Při sčítání a odečítání se výsledek zaokrouhluje na poslední desetinné místo nejméně přesného z parametrů (např. při výpočtu hodnoty 1,00 m + 1,5 m + 0,075 m se výsledek zaokrouhlí na desetiny metru, že je až 2,6 m). Zároveň se doporučuje provádět výpočty v takovém pořadí, aby nedošlo k odečítání čísel, která jsou si blízká velikostí a provádět operace s čísly pokud možno ve vzestupném pořadí jejich modulů.
Při násobení a dělení se výsledek zaokrouhlí na nejmenší počet platných číslic, které mají faktory nebo dělenec a dělitel. Například, pokud těleso s rovnoměrným pohybem urazilo vzdálenost 2,5⋅10 3 metry za 635 sekund , pak při výpočtu rychlosti by měl být výsledek zaokrouhlen nahoru na 3,9 m/s , protože jedno z čísel (vzdálenost) je známé. pouze s přesností na dvě platné číslice. Důležité upozornění: pokud je jeden operand při násobení nebo dělitel při dělení celočíselný význam (tedy ne výsledek měření spojité fyzikální veličiny s přesností na celé jednotky, ale např. veličina nebo jen celočíselná konstanta ), pak počet platných číslic v něm je přesnost výsledku operace není ovlivněna a počet zbývajících číslic je určen pouze druhým operandem. Například kinetická energie tělesa o hmotnosti 0,325 kg pohybujícího se rychlostí 5,2 m/s je rovna $E_{k}={\tfrac {mv^{2}}{2}}={\tfrac {0,325\cdot 5,2^{2}}{2}}=4,394\cca 4,4$ J - zaokrouhlená na dvě desetinná místa (podle počtu platných číslic v hodnotě rychlosti), nikoliv na jedničku (dělitel 2 ve vzorci), jelikož hodnota 2 je celočíselná vzorcová konstanta, je naprosto přesná a neovlivňuje přesnost výpočtů (formálně lze takový operand považovat za „naměřený s nekonečným počtem významných číslice“).
Při zvýšení na mocninu byste jako výsledek výpočtu měli ponechat tolik platných číslic, kolik má základna stupně.
Při extrakci odmocniny libovolného stupně z přibližného čísla by se v důsledku toho mělo vzít tolik platných číslic, kolik má kořenové číslo.
Při výpočtu hodnoty funkce je potřeba odhadnout hodnotu modulu derivace této funkce v blízkosti bodu výpočtu. Jestliže , pak je výsledek funkce přesný na stejné desetinné místo jako argument. V opačném případě bude výsledek obsahovat méně přesných desetinných míst zaokrouhlených nahoru na nejbližší celé číslo. $f \left( x \right)$ $\left|f'\left(x\right)\right|\leqslant 1$ $\log _{10}\left(\left|f'\left(x\right)\right|\right)$

Výše uvedená pravidla i přes nepřísnost fungují v praxi poměrně dobře, zejména z důvodu poměrně vysoké pravděpodobnosti vzájemného zrušení chyb, na což se při přesném zohlednění chyb většinou nepočítá.

Chyby

Dost často dochází ke zneužívání nekulatých čísel. Například:

Zapište čísla, která mají nízkou přesnost, v nezaokrouhlené podobě. Ve statistikách: pokud 4 lidé ze 17 odpověděli „ano“, pak napíší „23,5 %“ (zatímco „24 %“ je správně, protože počet platných číslic ve zdrojových datech není větší než dvě ).
Uživatelé ukazatele někdy uvažují takto: „ukazatel se zastavil mezi 5,5 a 6 blíže k 6, nechť je 5,8“ - taková úvaha je nesprávná. ( Kalibrace přístroje zpravidla odpovídá jeho skutečné přesnosti, správné by bylo zafixovat hodnotu "6".

Zajímavý fakt

Carl Friedrich Gauss poznamenal: „Nedostatky matematického vzdělání se nejzřetelněji projevují v přílišné přesnosti numerických výpočtů“ [9] .

Viz také

Poznámky

↑ 1 2 Floor Function – od Wolframa MathWorld . Získáno 8. 8. 2015. Archivováno z originálu 5. 9. 2015. (neurčitý)
↑ Iverson, Kenneth E. Programovací jazyk . - Wiley, 1962. - ISBN 0-471-43014-5 . Archivovaná kopie (nedostupný odkaz) . Datum přístupu: 8. srpna 2015. Archivováno z originálu 4. června 2009. (neurčitý)
↑ Knut D. E. The Art of Programming. Volume 1. Basic Algorithms = The Art of Computer Programming. Volume 1. Fundamental Algorithms / ed. S. G. Trigub (Ch. 1), Yu. G. Gordienko (Ch. 2) a I. V. Krasikova (Sec. 2.5 a 2.6). - 3. - Moskva: Williams, 2002. - T. 1. - 720 s. — ISBN 5-8459-0080-8 .
↑ A'Hearn, B., J. Baten, D. Crayen (2009). "Kvantifikace kvantitativní gramotnosti: hromadění věku a historie lidského kapitálu," Journal of Economic History 69, 783-808.
↑ 1 2 Zaokrouhlení výsledků měření . www.metrologie.ru Staženo 10. srpna 2019. Archivováno z originálu 16. srpna 2019. (neurčitý)
↑ 1.3.2. Pravidla pro zaokrouhlování chybových hodnot a záznam . StudFiles. Získáno 10. srpna 2019. Archivováno z originálu dne 10. srpna 2019. (Ruština)
↑ Pravidla pro přepočítávání hodnot fyzikálních veličin | Jednotky fyzikálních veličin . sv777.ru. Získáno 8. srpna 2019. Archivováno z originálu dne 8. srpna 2019. (neurčitý)
↑ V. M. Zavarykin, V. G. Žitomirskij, M. P. Lapchik. Výpočetní technika a algoritmizace: Úvodní kurz: Učebnice pro studenty Pedagogických ústavů fyziky a matematiky. - M: Education, 1987. 160 s.: ill.
↑ cit. podle V. Gilde, Z. Altrichtera. "S kalkulačkou v ruce." Druhé vydání. Překlad z němčiny Yu. A. Danilov. M: Mir, 1987, s. 64.

Literatura

Henry S. Warren, Jr. Kapitola 3 Zaokrouhlení na mocniny 2 // Algoritmické triky pro programátory = Hacker's Delight. - M .: "Williams" , 2007. - S. 288. - ISBN 0-201-91465-4 .

Odkazy

Standardní SEV ST SEV 543-77 "Čísla. Pravidla pro psaní a ... | Dokipedia . dokipedia.ru. Datum přístupu: 8. srpna 2019. Archivováno 8. srpna 2019. (neurčitý)