Operátor (matematika)

Operátor ( pozdně latinský operátor - dělník, performer, z operor - pracuji, jednám) - matematické zobrazení mezi množinami , ve kterém je každá z nich vybavena nějakou další strukturou (pořádek, topologie, algebraické operace). Pojem operátor se používá v různých odvětvích matematiky k odlišení od jiných druhů zobrazení (hlavně numerických funkcí ); přesný význam závisí na kontextu, např. ve funkcionální analýze jsou operátory chápány jako zobrazení, která spojují funkce s jinou funkcí („operátor na prostoru funkcí“ místo „funkce z funkce“).

Některé typy operátorů:

operátory na prostorech funkcí ( diferenciace , integrace , konvoluce jádra , Fourierova transformace ) ve funkcionální analýze ;
zobrazení (zejména lineární) mezi vektorovými prostory (projektory, rotace souřadnic, stejnoměrnosti, násobení vektor-matice) v lineární algebře ;
transformace posloupností (konvoluce diskrétních signálů, mediánový filtr) v diskrétní matematice .

Základní terminologie

Říká se, že operátor jedná od množiny k množině . Operátor nemusí být definován všude na ; pak se mluví o jeho doméně definice . Pro výsledek použití operátora označte nebo . $A:X\to Y$ $X$ $Y$ $X$ $D_{A}=D(A)\podmnožina X$ $x\in X$ $A$ $X$ $Sekera)$ $Sekera$

Jestliže a jsou vektorové prostory , pak v množině všech operátorů od do můžeme vyčlenit třídu lineárních operátorů . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Jestliže a jsou vektorové topologické prostory , pak se v množině operátorů od do třída spojitých operátorů , stejně jako třída lineárně ohraničených operátorů a třída lineárních kompaktních operátorů (nazývaných také zcela spojité) přirozeně rozlišují . $X$ $Y$ $X$ $Y$

Jednoduché příklady

Operátor působící na prostory funkcí je pravidlo, podle kterého se jedna funkce transformuje na jinou. Transformace funkce podle pravidla na jinou funkci má tvar nebo jednodušeji . $x(t)$ $A$ $y(t)$ $y(t)=A\{x(t)\}$ $y=ax$

Příklady takových transformací jsou násobení číslem: a derivování: . Odpovídající operátory se nazývají operátory násobení číslem, derivace, integrace, řešení diferenciální rovnice atd. $y(t)=cx(t)$ $\scriptstyle y(t)={\frac {dx(t)}{dt))$

Operátory, které upravují argument funkce, se nazývají transformační operátory nebo konverze . Transformace nahradí souřadnicové osy, zobrazí funkci v jiném prostoru. Například Fourierova transformace z časové do frekvenční oblasti:

F(\omega )={\frac {1}{{\sqrt {2\pi }}}}\int \limits _{{-\infty }}^({\infty }}f(t)e^{ {-it\omega }}\,dt={\mathcal {F}}\{f(t)\}.

Rozdíl mezi operátorem a jednoduchou superpozicí funkcí v tomto případě spočívá v tom, že hodnota funkce , obecně řečeno, v každém bodě závisí nejen na , ale na hodnotách funkce ve všech bodech . Vysvětleme na příkladu Fourierovy transformace. Hodnota této transformace (funkční spektrum) se v bodě mění s plynulou změnou původní funkce v okolí libovolného bodu . $y$ $t$ $x(t)$ $X$ $t$ $\omega$ $t$

Teorie operátorů se zabývá studiem obecných vlastností operátorů a jejich aplikací na řešení různých problémů . Například se ukazuje, že operátor násobení vektor-matice a operátor konvoluce funkce s váhou mají mnoho společných vlastností.

Základem pro praxi je třída tzv. lineárních operátorů . Je také nejvíce prozkoumaná. Příkladem lineárního operátora je operace násobení -rozměrného vektoru maticí velikosti . Tento operátor mapuje -rozměrný prostor vektorů na -rozměrný prostor . $n$ $n\krát m$ $n$ $m$

Lineární operátory

Operátor (působící z vektorového prostoru do vektorového prostoru) se nazývá lineární homogenní (nebo jednoduše lineární ), pokud má následující vlastnosti: $L$

lze použít termín po termínu na součet argumentů: $L(x_{1}+x_{2})=L(x_{1})+L(x_{2})$ ;
ze znaménka operátoru lze vyjmout skalár (konstantní hodnotu) : $C$ $L(cx)=cL(x)$ ;

Z druhé vlastnosti vyplývá, že vlastnost platí pro lineární homogenní operátor . $L(0)=0$

Operátor se nazývá lineární nehomogenní , pokud se skládá z lineárního homogenního operátoru s přidáním nějakého pevného prvku: $L$

L\{x\}=L_{0}\{x\}+\varphi

kde je lineární homogenní operátor. $L_0$

V případě lineární transformace diskrétních funkcí (sekvencí, vektorů) jsou nové hodnoty funkcí lineárními funkcemi starých hodnot : $y_{k}$ $x_k$

y_{k}=\součet _{{l=1}}^{n}T_{{kl}}\,x_{l}

V obecnějším případě spojitých funkcí má dvourozměrná hmotnostní matice podobu funkce dvou proměnných a nazývá se jádro lineární integrální transformace: $K(t,\;\omega )$

\varphi (t)=\int \limits _{V}\!K(t,\omega )f(\omega )\,d\omega =K\{f(\omega )\}.

Funkce operandu se v tomto případě nazývá spektrální funkce . Spektrum může být také diskrétní, v takovém případě je nahrazeno vektorem . V tomto případě je reprezentovatelná konečnou nebo nekonečnou řadou funkcí: $f(\omega )$ $f(\omega )$ $W$ $\varphi (t)$

\varphi (t)=\sum _{{i=1}}^{n}T_{i}(t)w_{i}.

Operátor nuly

Operátor , který každému vektoru přiřadí nulový vektor , je samozřejmě lineární; nazývá se operátor null [1] . $Ó$ ${\mathbf {a}}$ $\mathbf {0}$

Operátor identity (identity)

Operátor , který spojuje každý vektor s vektorem samotným, je samozřejmě lineární; nazývá se identita nebo operátor identity. $E$ ${\mathbf {a}}$ ${\mathbf {a}}$

Speciální případ lineárního operátoru, který vrací operand beze změny:

E{\mathbf {a}}={\mathbf {a}},

to znamená, jak je maticový operátor definován rovností

\sum _{k}E_{{ik}}\,a_{k}=a_{i}

a jako integrální operátor rovností

\int \limits _{\alpha }^{\beta }\!E(x,t)a(t)\,dt=a(x)

Identitní matice se píše většinou se symbolem ( Kroneckerův symbol ). Máme: v a v . $E_{{ik}}$ $\delta _{{ik}}=\delta _{{ki}}$ $\delta _{{ik}}=1$ $i=k$ $\delta _{{ik}}=0$ $i\neq k$

Jednotkové jádro je zapsáno jako ( funkce delta ). všude kromě , kde se funkce stává nekonečnou a navíc taková, že $E(x,t)$ $E(x,t)=\delta (tx)$ $\delta(xt)=0$ $x=t$

\int \limits _{\alpha }^{\beta }\!\delta (xt)\,dt=1

Záznam

V matematice a technice se široce používá podmíněná forma operátorů psaní, podobná algebraické symbolice. Taková symbolika v řadě případů umožňuje vyhnout se složitým transformacím a psát vzorce v jednoduché a pohodlné formě. Argumenty operátoru se nazývají operandy , počet operandů se nazývá arita operátoru (např. jeden, binární). Psaní operátorů lze systematizovat takto:

prefix : kde operátor je na prvním místě a operandy následují, například:

Q(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n});

postfix : pokud znak operátora následuje za operandy, například:

(x_{1},\;x_{2},\;\ldots ,\;x_{n})\;Q;

infix : operátor vložený mezi operandy, používaný především s binárními operátory:

x_{1}\;Q\;x_{2};

poziční : znak operátoru je vynechán, operátor je implicitně přítomen. Nejčastěji se operátor produktu (proměnné, číselná hodnota na fyzikální jednotku, matice, složení funkcí) nepíše např. 3 kg. Této schopnosti jediného operátora působit na heterogenní entity je dosaženo přetížením operátora ;
dolní nebo horní index vlevo nebo vpravo; používá se hlavně pro umocňování a výběr vektorového prvku podle indexu.

Jak vidíte, operátorový zápis často přebírá zkrácenou formu od konvenčního zápisu funkcí. Při použití předponové nebo postfixové notace jsou závorky ve většině případů vynechány, pokud je známa arita operátoru. Takže jeden operátor nad funkcí je obvykle psán pro stručnost místo ; závorky slouží pro přehlednost např. ovládání výrobku . , jednající podle , je také psáno . Speciální znaky jsou zavedeny pro označení některých operátorů, například unární (faktoriální "!", vpravo od operandu), (negace, vlevo) nebo kaligrafické symboly, jako v případě Fourierovy transformace funkce . Umocňování lze chápat jako binární operátor dvou argumentů nebo jako mocninu či exponenciální funkci jednoho argumentu. $Q$ $F$ $Qf$ $Q(f)$ $Q(fg)$ $Q$ $f(x)$ $(Qf) (x)$ $n!$ $-n$ ${\mathcal {F}}\{f(t)\}$ $n^{x}$

Symbol lineárního diferenciálního operátoru

Symbol lineárního diferenciálního operátora spojuje polynom s diferenciálním operátorem, zhruba řečeno, nahrazuje složení parciálních derivací součinem proměnných s nimi spojených. Vyšší monočleny symbolu operátoru (hlavního symbolu operátoru) odrážejí kvalitativní chování řešení parciální diferenciální rovnice odpovídající tomuto operátoru. Lineární eliptické parciální diferenciální rovnice se vyznačují tím, že jejich hlavní symbol nikdy neklesne k 0.

Dovolit a být multi-indexy a . Pak položíme $x=(x_{1},\ldots ,x_{n})$ $\alpha =(\alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n})$ $\beta =(\beta _{1},\ldots ,\beta _{n})$

{\begin{aligned}D^{\alpha }x^{\beta }&={\frac {\partial ^{\vert \alpha \vert }}{\partial x_{1}^{\alpha _{1}}\cdots \partial x_{n}^{\alpha _{n}}}}x_{1}^{\beta _{1}}\cdots x_{n}^{\beta _{n }}\\&={\frac {\částečné ^{\alpha _{1}}}{\částečné x_{1}^{\alpha _{1}}}}x_{1}^{\beta _{ 1))\cdots {\frac {\částečné ^{\alpha _{n))}{\částečné x_{n}^{\alpha _{n))))x_{n}^{\beta _{n }}.\end{aligned}}

Dovolit být lineární diferenciální operátor objednávky na Euclidean prostoru . Pak je polynom v derivaci , ve víceindexové notaci se zapíše jako $P$ $k$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{d))$ $P$ $D$

P=p(x,D)=\součet _{{|\alpha |\leq k}}a_{\alpha }(x)D^{\alpha }.

Polynom je podle definice úplný znak : $p$ $P$

\sigma P(\xi )=p(x,\xi )=\součet _{{|\alpha |\leq k}}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }.

Hlavní symbol operátora se skládá z monomií maximálního stupně : $\sigma _{P}$

\sigma _{P}(\xi )=\součet _{{|\alpha |=k}}a_{\alpha }\xi ^{\alpha }

a je součástí úplného symbolu operátora, který se při změně souřadnic transformuje jako tenzor.

Viz také

Seznam operátorů (matematika)
Potenciální operátor

Poznámky

↑ Shilov G. E. Matematická analýza. Speciální kurz. - M.: Fizmatlit, 1961. - C. 203

Literatura

(1995) Provozovatel. Matematický encyklopedický slovník. Ch. vyd. Yu V. Prochorov. M.: "Velká ruská encyklopedie".