Operační počet

Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 24. května 2021; ověření vyžaduje 1 úpravu .

Operační počet je jednou z metod matematické analýzy , která v některých případech umožňuje řešit složité matematické problémy pomocí jednoduchých prostředků.

Historie

V polovině 19. století se objevila řada prací o tzv. symbolickém počtu a jeho aplikaci při řešení některých typů lineárních diferenciálních rovnic . Podstatou symbolického kalkulu je, že funkce operátoru diferenciace jsou uvedeny v úvahu a správně interpretovány ( teorie operátorů ). Mezi pracemi o symbolickém počtu stojí za zmínku podrobná monografie profesora-matematika Michaila Vashchenko-Zacharčenka „Symbolický počet a jeho aplikace na integraci lineárních diferenciálních rovnic“ , vydaná v roce 1862 v Kyjevě . Stanovuje a řeší hlavní úkoly metody, která se později stala známou jako operační metoda. $p={d\over dt}$

V roce 1892 se objevily práce anglického vědce Olivera Heaviside , věnované aplikaci metody symbolického počtu při řešení problémů v teorii šíření elektrických vibrací v drátech. Na rozdíl od svých předchůdců Heaviside definoval inverzní operátor jedinečně, za předpokladu a počítání pro . Heavisideova práce položila základ pro systematickou aplikaci symbolického či operativního kalkulu při řešení fyzikálních a technických problémů. ${\frac {1}{p}}f(t)=\int \limits _{{0}}^{{t}}\!f(u)\,du$ $f(u)=0$ $u<0$

Operační počet široce vyvinutý v Heavisideových pracích však nedostal matematické odůvodnění a mnoho z jeho výsledků zůstalo neprokázané. Důkladné zdůvodnění bylo dáno mnohem později, když bylo navázáno spojení mezi funkční Laplaceovou transformací a derivačním operátorem Jmenovitě, pokud existuje derivace, pro kterou a existuje , pak . ${\bar {f}}(p)=L\left[f(t)\right]=\int \limits _{{0}}^{\infty }\!e^{{-pt}}f( t)\,dt$ ${d\over dt}.$ $f^{\prime }(t)$ $L\left[{df \over dt}\right]$ $f(0)=0$ $L\left[{df \over dt}\right]=p{\bar {f}}(p)$

V 50. letech 20. století na teoretické zdůvodnění operačního počtu navázal Jan Mikušinský , jeho myšlenky se vyznačují originálním vzhledem a novátorským přístupem, jeho verze operačního počtu se nazývala "operační počet podle Mikušínského". Tato metoda může být aplikována na řešení diferenciálních rovnic a je založena na použití operace konvoluce pomocí Fourierovy transformace .

Vlastnosti obrázku

Linearita

Originál lineární kombinace znaků se rovná lineární kombinaci obrázků se stejnými koeficienty.

a\cdot f(t)+b\cdot g(t)\quad \Rightarrow \quad a\cdot F(p)+b\cdot G(p),

kde a a b jsou libovolná komplexní čísla .

Věta o podobnosti

f(at)\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{a}}F\left({\frac {p}{a}}\right),

kde a>0.

Odlišení originálu

f(t)\quad \Rightarrow \quad F(p);

f'(t)\quad \Rightarrow \quad pF(p)-f(0);

f''(t)\quad \Rightarrow \quad p^{2}F(p)-pf(0)-f'(0);

f'''(t)\quad \Rightarrow \quad p^{3}F(p)-p^{2}f(0)-pf'(0)-f''(0);

...

f^{{(n)}}(t)\quad \Rightarrow \quad p^{n}F(p)-p^{{n-1}}f(0)-p^{{n-2} }f'(0)-p^{{n-3}}f''(0)-...-f^{{(n-1)}}(0).

Rozlišení obrazu

-tf(t)\quad \Šipka doprava \quad F'(p).

Integrace originálu

\int \limits _{0}^{t}f(t)dt\quad \Rightarrow \quad {\frac {1}{p}}F(p).

Integrace obrazu

{\frac {f(t)}{t}}\quad \Rightarrow \quad \int \limits _{p}^{\infty }F(p)dp.

Věta o posunutí

e^{{at}}f(t)\quad \Rightarrow \quad F(pa).

Věta o zpoždění

f(t-\tau )\quad \Rightarrow \quad e^{{-p\tau }}F(p).

Násobící teorém (konvoluce)

\int \limits _{0}^{t}f(\tau )g(t-\tau )d\tau \quad \Rightarrow \quad F(p)\cdot G(p).

Obrázky různých funkcí

Originál	obraz	Originál	obraz	Originál	obraz
$C$	${\frac {C}{p}}$	$t\cdot \sin ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {2p\omega }{(p^{2}+\omega ^{2})^{2))))$	$t\cdot \operatorname {sh} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {2p\omega }{(p^{2}-\omega ^{2})^{2))))$
${\displaystyle e^{at))$	${\frac {1}{pa}}$	$t\cdot \cos~\omega t$	${\displaystyle {\frac {p^{2}-\omega ^{2}}{(p^{2}+\omega ^{2})^{2))))$	$t\cdot \operatorname {ch} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {p^{2}+\omega ^{2}}{(p^{2}-\omega ^{2})^{2))))$
$\sin ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {\omega }{p^{2}+\omega ^{2))))$	$\operatorname {sh} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {\omega }{p^{2}-\omega ^{2))))$	$t^{n}$	${\displaystyle {\frac {n!}{p^{n+1))))$
$\cos ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {p}{p^{2}+\omega ^{2))))$	$\operatorname {ch} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {p}{p^{2}-\omega ^{2))))$	$t^{a}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (a+1)}{p^{a+1))))$
$e^{at}\sin ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {\omega }{(pa)^{2}+\omega ^{2))))$	$e^{at}\operatorname {sh} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {\omega }{(pa)^{2}-\omega ^{2))))$	$e^{at}t^{n}$	${\displaystyle {\frac {n!}{(pa)^{n+1))))$
$e^{at}\cos ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {pa}{(pa)^{2}+\omega ^{2))))$	$e^{at}\operatorname {ch} ~\omega t$	${\displaystyle {\frac {pa}{(pa)^{2}-\omega ^{2))))$

Aplikace operátorských metod v elektrotechnice

Výzva

Obrázek ukazuje spínaný RL obvod . V určitém okamžiku t=0 se klíč K zavře. Určete závislost proudu v RL obvodu na čase.

Rozhodnutí tradiční metodou

Podle druhého Kirchhoffova zákona je obvod popsán následující diferenciální rovnicí:

U=iR+L{\frac {di}{dt}},

kde první termín popisuje úbytek napětí na rezistoru R a druhý termín popisuje úbytek napětí na induktoru L.

Provedeme změnu proměnné a převedeme rovnici do tvaru: $i=ab$

U=Rab+L(a'b+ab');\qquad U=a(Rb+Lb')+La'b.

Protože jeden z faktorů a, b lze zvolit libovolně, zvolíme b tak, aby výraz v závorce byl roven nule:

Rb+Lb'=0.

Oddělování proměnných:

{\frac {b'}{b}}=-{\frac {R}{L));\qquad \ln b=-{\frac {R}{L}}t;\qquad b= e^{-{\frac {R}{L}}t}.

Při zohlednění zvolené hodnoty b se diferenciální rovnice zredukuje do tvaru

U=La'e^{-{\frac {R}{L}}t};\qquad a'={\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{ L}};

Integrace, rozumíme

a={\frac {L}{R}}\cdot {\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{L}}+C={\frac {Ue^ {{\frac {R}{L}}t}}{R}}+C;\qquad

Dostaneme výraz pro proud

i=ab=\left({\frac {Ue^({\frac {R}{L}}t}}{R}}+C\right)\cdot e^{-{\frac {R }{L}}t}={\frac {U}{R}}+Ce^{-{\frac {R}{L}}t};

Hodnota integrační konstanty se zjistí z podmínky, že v okamžiku t=0 nebyl v obvodu žádný proud:

i(0)=0;\qquad {\frac {U}{R}}+C=0;\qquad C=-{\frac {U}{R}}.

Konečně se dostáváme

i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).

Řešení operátorovou metodou

Najděte obrázky každého z členů diferenciální rovnice:

i\Rightarrow I;\qquad U\Rightarrow {\frac {U}{p);\qquad iR\Rightarrow IR;\qquad L{\frac {di}{dt))\Rightarrow L\left[ pI -i(0)\right]=pLI.

[jeden]

$U\Rightarrow {\frac {U}{p}}$ se získá, protože změna U v čase je vyjádřena funkcí U = H(t)U (spínač byl sepnut v čase t = 0), kde H(t) je Heavisideova skoková funkce (jednotková funkce), ( H (t) = 0 při t < 0 a H(t) = 1 pro t = 0 a t > 0 a obraz H(t) je 1/ p ).

Získáme následující obrázek diferenciální rovnice

{\frac {U}{p}}=RI+pLI=I(R+pL).

Z posledního výrazu najdeme obrázek proudu:

I={\frac {U}{p(R+pL))).

Řešení se tedy redukuje na nalezení původního proudu ze známého obrazu. Rozšiřme pravou stranu rovnice na elementární zlomky:

{\frac {U}{p(R+pL)}}={\frac {A}{p}}+{\frac {B}{R+pL}}={\frac {A(R +pL)+Bp}{p(R+pL)}}={\frac {AR+p(AL+B)}{p(R+pL))));

AR=U;\qquad A={\frac {U}{R));

AL+B=0;\qquad B=-AL=-{\frac {UL}{R));

I={\frac {U}{Rp}}-{\frac {UL}{R(R+pL)))={\frac {U}{Rp}}-{\frac {U}{ R({\frac {R}{L}}+p)}}={\frac {U}{R}}\left({\frac {1}{p}}-{\frac {1}{{ \frac {R}{L}}+p}}\right).

Pojďme najít původní prvky posledního výrazu:

{\frac {1}{p}}\Leftarrow 1;\qquad {\frac {1}({\frac {R}{L}}+p}}\Leftarrow e^{-{\frac { R}{L}}t}.

Konečně se dostáváme

i={\frac {U}{R}}\left(1-e^{-{\frac {R}{L}}t}\right).

Závěr

Operační počet je v elektrotechnice mimořádně vhodný pro výpočet dynamických režimů různých obvodů. Algoritmus výpočtu je následující.

1) Všechny prvky obvodu považujeme za odpory Z i , jejichž hodnoty jsou zjištěny na základě obrázků přechodových funkcí odpovídajících prvků.

Například pro rezistor:

u=iR;\quad \Rightarrow \quad U=IR\quad \Rightarrow \quad Z_{R}=R.

Pro indukčnost:

u=L{\frac {di}{dt}}\quad \Rightarrow \quad U=IpL\quad \Rightarrow \quad Z_{L}=pL.

Pro kontejner:

u={\frac {1}{C}}\int idt\quad \Rightarrow \quad U={\frac {I}{pC}}\quad \Rightarrow \quad Z_{C}={\frac {1}{pC}}.

2) Pomocí uvedených hodnot odporu zjistíme obrazy proudů v obvodu pomocí standardních metod pro výpočty obvodů používaných v elektrotechnice.

3) Máme-li obrazy proudů v obvodu, najdeme originály, které jsou řešením diferenciálních rovnic popisujících obvod.

Aplikace operačního počtu

Operátorové metody se používají v teorii elektrických obvodů , teorii automatického řízení , teorii signálů a teoretické mechanice . Přechod na obrázky umožňuje přejít od řešení diferenciálních rovnic k algebraickým. Operační počet umožňuje pracovat s nespojitými funkcemi , například funkce nůžky , hybnost, delta funkce a další. Tato vlastnost odlišuje operační počet od matematické analýzy svou kontinuitou a diferenciací v každém bodě .

Poznámky

Je zajímavé poznamenat, že výše získané výrazy pro odpor operátora různých prvků až po transformaci

p\rightarrow j\omega

se shodují s odpovídajícími výrazy pro odpory ve střídavých obvodech:

Z_{R}=R;\qquad Z_{L}=j\omega L;\qquad Z_{C}={\frac {1}{j\omega C)).

Poznámky

↑ V zahraniční literatuře se komplexní proměnná p obvykle označuje písmenem s .

Literatura

Sidorov Yu.V., Fedoryuk MV, Shabunin MI Přednášky o teorii funkcí komplexní proměnné. - 1989. - S. 479. - ISBN 5-02-013954-8 .
Bracewell R. Hartley Transform. - 1990. - S. 172.
Dech G. Laplaceova transformace . - 1971. - S. 288 .

Ditkin V. A., Prudnikov A. P. Operační počet. - 1975. - S. 408.
Kontorovich MI Operační počet . - 1955. - S. 229 .
Martynenko V. S. Operační počet. - 1990. - S. 359.
Mikušinský Jan. Operátorský počet . - 1956. - S. 363 .
Šostak R. Ya. Operační počet. - 1972. - S. 274.

Shtokalo I. Z. Operační počet. - 1972. - S. 304.

Eiderman V. Ya. Operační počet . - " Fizmatlit ", 2002. - S. 256 . — ISBN 5-9221-0283-4 .

Panteleev A. V., Yakimova A. S. Teorie funkcí komplexní proměnné a operační počet v příkladech a problémech : tutoriál. -" Vysoká. škola “, 2001. - S. 445 . — ISBN 5-06-004135-2 .