Funkce (komplexní analýza)
Aktuální verze stránky ještě nebyla zkontrolována zkušenými přispěvateli a může se výrazně lišit od verze recenzované 26. listopadu 2020; ověření vyžaduje 1 úpravu .Singularita nebo singulární bod holomorfní funkce f je bod na komplexní rovině , ve kterém tato funkce není definována, její limita je nekonečná nebo neexistuje žádná limita.
Pro vícehodnotové analytické funkce jsou body větvení také považovány za singularity .
Jsou možné dvě klasifikace singulárních bodů. Za prvé je přípustná klasifikace podle množinově teoretických vlastností jejich množiny:
- Izolovaný singulární bod je bod, pro který existuje nějaké proražené okolí , kde je tato funkce analytická .
- Neizolovaný singulární bod je singulární bod, který není izolovaný. V tomto případě můžeme hovořit o tzv. speciální sadě .
Typy singularit
Izolované prvky lze zase rozdělit do tří typů:
- Odnímatelný singulární bod je bod, ve kterém funkce není definována, ale limita funkce, ve které je konečná, v tomto bodě může být funkce rozšířena o hodnotu této limity a rozšířena na funkci, která je analytická. v tomto bodě.
- Pól je bod, kde je limita funkce nekonečná. Při zvažování funkce jako mapování ne ke komplexnímu letadlu ale k Riemann kouli , tyč by neměla být považována za nějaký singulární bod; viz meromorfní funkce .
- Esenciální singulární bod je bod, ve kterém limita funkce neexistuje.
Singularity na Riemannových plochách
Singularity lze také uvažovat pro holomorfní funkce definované na Riemannových plochách . Zejména, pokud je proměnné z dovoleno nabývat hodnot nejen v komplexní rovině, ale i na Riemannově sféře , pak singularita v nekonečnu pro funkci f je určena stupněm „singularity“ bodu 0 pro funkce .
