V matematice je permutační polytop řádu n ( n − 1)-rozměrný konvexní polytop vložený do n - rozměrného euklidovského prostoru, který je konvexním obalem všech n ! body získané permutací souřadnic vektoru (1, 2, 3, ..., n ).
Podle Zieglera, Günthera [1] se permutační mnohostěn poprvé objevuje v dílech Schuteho v roce 1911. Samotný termín „permutační mnohostěn“ (přesněji jeho francouzská verze „permutoèdre“) se poprvé objevil v článku Guibuda (G.-T.Guibaud) a Rosenstahla, Pierre v roce 1963. Při jeho navrhování autoři napsali, že „permutoèdre“ vypadá barbarsky, ale je snadno zapamatovatelné, a že použití tohoto termínu nechají na čtenáři.
Blízce příbuzný koncept je Birkhoffův mnohostěn , definovaný jako konvexní obal permutačních matic . V obecnější situaci použil Bowman (V.-J.Bowman) v roce 1972 termín "permutační polytop" ("permutační polytop") pro jakýkoli polytop, jehož vrcholy jsou v korespondenci jedna ku jedné s permutacemi nějaké množiny.
Permutační polytop řádu n je zcela obsažen v ( n − 1)-rozměrné nadrovině sestávající ze všech bodů, jejichž součet souřadnic je
1 + 2 + ... + n = n ( n + 1)/2.Navíc lze tuto nadrovinu poskládat nekonečným počtem paralelních kopií permutačního mnohostěnu. Každá z těchto kopií se od původního permutačního mnohostěnu liší prvkem nějaké ( n − 1)-rozměrné mřížky tvořené n -rozměrnými vektory, jejichž všechny souřadnice jsou celá čísla, jejich součet je roven nule a všechny souřadnice patří stejná třída zbytků modulo n :
x 1 + x 2 + ... + x n \u003d 0, x 1 ≡ x 2 ≡ ... ≡ x n (mod n ).Například permutační mnohostěn řádu 4 znázorněný na obrázku mozaikuje 3-rozměrný prostor pomocí paralelních translace. Zde je 3-rozměrný prostor uvažován jako afinní podprostor 4-rozměrného prostoru R 4 se souřadnicemi x , y , z , w , který je tvořen čtyřmi reálnými čísly, jejichž součet je 10, tzn.
x + y + z + w = 10.Je snadné to zkontrolovat pro každý z následujících čtyř vektorů
(1,1,1,−3), (1,1,−3,1), (1,−3,1,1) a (−3,1,1,1),součet souřadnic je nula a všechny souřadnice jsou shodné s 1 modulo 4. Jakékoli tři z těchto vektorů generují mřížku paralelních translace.
Takto konstruované obklady z permutačních mnohostěnů řádu 3 a 4 jsou pravidelné šestiúhelníkové obklady a komolé oktaedrické obklady .
| Objednávka 2 | Objednávka 3 | Objednávka 4 |
|---|---|---|
| 2 vrcholy | 6 vrcholů | 24 vrcholů |
| Permutační mnohostěn řádu 2 je segment na diagonále jednotkového čtverce . | Permutační mnohostěn řádu 3 je pravidelný šestiúhelník , což je část krychle 2×2×2 . | Permutační mnohostěn řádu 4 je zkrácený osmistěn . |
| Objednávka 5 | Objednávka 6 |
|---|---|
| 120 vrcholů | 720 vrcholů |
| Permutační mnohostěn řádu 5. | Permutační mnohostěn řádu 6. |