Periodická funkce

Periodická funkce je funkce , která opakuje své hodnoty v nějakém pravidelném intervalu argumentu, to znamená, že nemění svou hodnotu, když je k argumentu přidáno nějaké pevné nenulové číslo ( období funkce). celou doménu definice.

Formálněji se funkce nazývá periodická s periodou , pokud pro každý bod z jeho definičního oboru patří body a také do jeho definičního oboru a platí pro ně rovnost . $T\neq 0$ $X$ $x+T$ $xT$ $f(x)=f(x+T)=f(xT)$

Na základě definice platí rovnost také pro periodickou funkci , kde je libovolné celé číslo. $f(x)=f(x+nT)$ $n$

Všechny goniometrické funkce jsou periodické.

Formální definice

Nechť existuje abelovská grupa (obvykle se předpokládá - reálná čísla s operací sčítání nebo - komplexní čísla ). Funkce (kde je libovolná množina jejích hodnot) se nazývá periodická s tečkou if $M$ $M=(\mathbb {R} ,+)$ $(\mathbb {C} ,+)$ $f:M\to N$ $N$ $T\ne=0$

f(x+T)=f(x),\quad \forall x\in M

Pokud tato rovnost není splněna pro žádnou , pak se funkce nazývá aperiodická . $T\in M,\,T\není =0$ $F$

Jestliže pro funkci existují dvě periody , jejichž poměr se nerovná reálnému číslu , to znamená , že se nazývá dvojitě periodická funkce . V tomto případě jsou hodnoty v celé rovině určeny hodnotami v rovnoběžníku rozloženém pomocí . $f:\mathbb {C} \to N$ $T_{1},T_{2}\not =0$ ${\frac {T_{1}}{T_{2}}}\not \in \mathbb {R}$ $F$ $F$ $T_{1},T_{2}$

Poznámka

Perioda funkce je definována nejednoznačně. Konkrétně, jestliže je tečka, pak jakýkoli prvek tvaru (nebo , je-li operace násobení definována v definičním oboru funkce), kde je libovolné přirozené číslo , je také tečkou. $T$ $T'$ $T'=\underbrace {T+\cdots +T} _{n}$ $T'=nT$ $n\in \mathbb {N}$

Množina všech period funkce tvoří aditivní skupinu .

Pokud však má množina period nejmenší hodnotu, pak se nazývá hlavní (nebo hlavní) perioda funkce. ${\displaystyle \{T,T>0,T\in \mathbb {R} \))$

Příklady

Reálné funkce sinus a kosinus jsou periodické s hlavní periodou od $2\pi$

\sin(x+2\pi )=\sin x,\;\cos(x+2\pi )=\cos x,\quad \forall x\in \mathbb {R} .

Funkce tangens a kotangens jsou periodické s hlavní periodou . $\pi$

Funkce definovaná na celých číslech je periodická s hlavní periodou . $f(x)=(-1)^{x}$ $2$

Funkce rovna konstantě je periodická a každé nenulové číslo je její periodou. Funkce nemá žádnou hlavní periodu. $f(x)=\mathrm {const}$

Dirichletova funkce je periodická, její perioda je libovolné nenulové racionální číslo. Také nemá hlavní období.

Funkce je aperiodická. $f(x)=x^{2},\;x\in \mathbb {R}$

Některé vlastnosti periodických funkcí

Součet dvou funkcí se srovnatelnými periodami a není vždy funkcí s hlavní periodou rovnou nejmenšímu společnému násobku a (toto číslo však bude pouze perioda). Například hlavní perioda funkce je , perioda funkce je a jejich součet má samozřejmě hlavní periodu . $T_{1}$ $T_{2}$ $T_{1}$ $T_{2}$ $f(x)=\sin(2x)-\sin(3x)$ $2\pi$ $g(x)=\sin(3x)$ $2\pi /3$ $f(x)+g(x)=\sin(2x)$ $\pi$

Součet dvou funkcí s nesouměřitelnými periodami není vždy neperiodickou funkcí.

Existují periodické funkce, které se nerovnají konstantě, jejichž periody jsou nesouměřitelná čísla. Například pro funkci , která nabývá hodnot 1 pro algebraické x a v jiných případech 0, je jakékoli algebraické číslo tečkou a mezi algebraickými čísly existují i nesouměřitelná. $f(x)$

Viz také

Kvaziperiodická funkce

Odkazy

Periodická funkce (Velká sovětská encyklopedie)